Giải giúp ạ Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(2;3;4);B(4;5;6).$ Gọi điểm M di,động trên mặt phẳng (Oxy) . Tọa độ điểm M để $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất,$A.~M(2;3;0).$ $B.~M(3;4;0).$ $C.~M(4;5;0).$ $D.~M(1;4;0).$

Question

Accepted Answer

Câu 5:
Để tìm tọa độ điểm $ M $ trên mặt phẳng $ (Oxy) $ sao cho $ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$:
   Giả sử tọa độ của điểm $ M $ là $ (x; y; 0) $ vì $ M $ nằm trên mặt phẳng $ (Oxy) $.

$$
   \overrightarrow{MA} = A - M = (2 - x; 3 - y; 4)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MB} = B - M = (4 - x; 5 - y; 6)
   $$

2. Tính tổng của hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$:
   $$
   \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = ((2 - x) + (4 - x); (3 - y) + (5 - y); 4 + 6)
   $$
   $$
   \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (6 - 2x; 8 - 2y; 10)
   $$

3. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$:
   $$
   |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = \sqrt{(6 - 2x)^2 + (8 - 2y)^2 + 10^2}
   $$
   $$
   |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = \sqrt{(6 - 2x)^2 + (8 - 2y)^2 + 100}
   $$

4. Để giá trị $ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| $ nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức trong căn bậc hai:
   $$
   f(x, y) = (6 - 2x)^2 + (8 - 2y)^2 + 100
   $$

Ta thấy rằng $ f(x, y) $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ (6 - 2x)^2 $ và $ (8 - 2y)^2 $ đều bằng 0.

5. Giải phương trình:
   $$
   6 - 2x = 0 \implies x = 3
   $$
   $$
   8 - 2y = 0 \implies y = 4
   $$

Do đó, tọa độ của điểm $ M $ để $ |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| $ đạt giá trị nhỏ nhất là $ M(3; 4; 0) $.

Đáp án: B. $ M(3; 4; 0) $.