giúp tôi với

Câu 1. Để tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 10 \) giây, ta sử dụng công thức tính quãng đường từ vận tốc \( v(t) \): \[ s = \int_{0}^{10} v(t) \, dt \] Trong đó, \( v(t) = \frac{1}{6} t \). Bước 1: Tính tích phân của \( v(t) \): \[ s = \int_{0}^{10} \frac{1}{6} t \, dt \] Bước 2: Tính tích phân: \[ s = \frac{1}{6} \int_{0}^{10} t \, dt \] \[ s = \frac{1}{6} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{10} \] Bước 3: Thay cận vào: \[ s = \frac{1}{6} \left( \frac{10^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ s = \frac{1}{6} \left( \frac{100}{2} \right) \] \[ s = \frac{1}{6} \times 50 \] \[ s = \frac{50}{6} \] \[ s = \frac{25}{3} \approx 8.33 \text{ m} \] Vậy quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 10 \) giây là khoảng 8.33 mét. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các kích thước của bể cá sao cho diện tích toàn phần của bể cá là nhỏ nhất, từ đó chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Gọi chiều rộng của đáy bể cá là \( x \) (m), chiều dài của đáy bể cá là \( 2x \) (m), chiều cao của bể cá là \( h \) (m). Theo đề bài, thể tích của bể cá là 288 mét khối: \[ x \times 2x \times h = 288 \] \[ 2x^2h = 288 \] \[ x^2h = 144 \] \[ h = \frac{144}{x^2} \] Diện tích toàn phần của bể cá (không tính nắp) là: \[ S = 2x \times h + 2 \times x \times h + x \times 2x \] \[ S = 2xh + 2xh + 2x^2 \] \[ S = 4xh + 2x^2 \] Thay \( h = \frac{144}{x^2} \) vào biểu thức diện tích toàn phần: \[ S = 4x \left( \frac{144}{x^2} \right) + 2x^2 \] \[ S = \frac{576}{x} + 2x^2 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S \), chúng ta sử dụng đạo hàm: \[ f(x) = \frac{576}{x} + 2x^2 \] \[ f'(x) = -\frac{576}{x^2} + 4x \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ -\frac{576}{x^2} + 4x = 0 \] \[ 4x = \frac{576}{x^2} \] \[ 4x^3 = 576 \] \[ x^3 = 144 \] \[ x = \sqrt[3]{144} \approx 5.24 \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác nhận đây là điểm cực tiểu: \[ f''(x) = \frac{1152}{x^3} + 4 \] \[ f''(5.24) > 0 \] Vậy \( x = 5.24 \) là điểm cực tiểu, tức là giá trị nhỏ nhất của \( S \). Tính diện tích toàn phần khi \( x = 5.24 \): \[ h = \frac{144}{(5.24)^2} \approx 5.24 \] \[ S = \frac{576}{5.24} + 2(5.24)^2 \approx 104.8 \text{ mét vuông} \] Chi phí thuê nhân công: \[ \text{Chi phí} = 104.8 \times 500,000 = 52,400,000 \text{ đồng} \] \[ \text{Chi phí} = 52.4 \text{ triệu đồng} \] Vậy ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là 52.4 triệu đồng. Câu 3. Để tìm giá trị của $\cos \varphi$, chúng ta cần xác định vector chỉ phương của đường bay của máy bay và vector pháp tuyến của mặt sân đường băng hạ cánh. 1. Xác định vector chỉ phương của đường bay của máy bay: - Điểm xuất phát: $A(-40; 30; 20)$ - Điểm hạ cánh: $B(3; 5; 0)$ - Vector chỉ phương của đường bay: $\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-40); 5 - 30; 0 - 20) = (43; -25; -20)$ 2. Xác định vector pháp tuyến của mặt sân đường băng hạ cánh: - Mặt sân đường băng hạ cánh nằm trong mặt phẳng (Oxy), do đó vector pháp tuyến của nó là $\overrightarrow{n} = (0; 0; 1)$. 3. Tính góc giữa đường bay của máy bay và mặt sân đường băng hạ cánh: - Góc giữa đường bay của máy bay và mặt sân đường băng hạ cánh là góc giữa vector chỉ phương của đường bay và vector pháp tuyến của mặt sân đường băng hạ cánh. - Ta có công thức tính cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] - Ở đây, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = (43; -25; -20)$ và $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{n} = (0; 0; 1)$. - Tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 43 \cdot 0 + (-25) \cdot 0 + (-20) \cdot 1 = -20 \] - Độ dài của $\overrightarrow{u}$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{43^2 + (-25)^2 + (-20)^2} = \sqrt{1849 + 625 + 400} = \sqrt{2874} \] - Độ dài của $\overrightarrow{v}$: \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] - Vậy: \[ \cos \theta = \frac{-20}{\sqrt{2874}} \] 4. Tính giá trị của $\cos \varphi$: - Góc giữa đường bay của máy bay và mặt sân đường băng hạ cánh là $\varphi = 90^\circ - \theta$. - Do đó: \[ \cos \varphi = \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \] - Thay vào: \[ \cos \theta = \frac{-20}{\sqrt{2874}} \] \[ \cos^2 \theta = \left(\frac{-20}{\sqrt{2874}}\right)^2 = \frac{400}{2874} \] \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \frac{400}{2874}} = \sqrt{\frac{2874 - 400}{2874}} = \sqrt{\frac{2474}{2874}} \] \[ \cos \varphi = \sqrt{\frac{2474}{2874}} \approx 0.93 \] Vậy giá trị của $\cos \varphi$ là khoảng 0.93 (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 4. Để tính giá trị của tích phân $\int^2_1 g(x) \, dx$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và áp dụng các tính chất của tích phân. Bước 1: Ta biết rằng: \[ \int^2_1 [2f(x) + 3g(x)] \, dx = 8 \] và \[ \int^2_1 f(x) \, dx = 1 \] Bước 2: Ta sẽ tách tích phân $\int^2_1 [2f(x) + 3g(x)] \, dx$ thành hai tích phân riêng biệt: \[ \int^2_1 [2f(x) + 3g(x)] \, dx = \int^2_1 2f(x) \, dx + \int^2_1 3g(x) \, dx \] Bước 3: Áp dụng tính chất tích phân của hằng số nhân với hàm số: \[ \int^2_1 2f(x) \, dx = 2 \int^2_1 f(x) \, dx \] \[ \int^2_1 3g(x) \, dx = 3 \int^2_1 g(x) \, dx \] Bước 4: Thay giá trị của $\int^2_1 f(x) \, dx$ vào: \[ 2 \int^2_1 f(x) \, dx = 2 \times 1 = 2 \] Bước 5: Kết hợp lại ta có: \[ 2 + 3 \int^2_1 g(x) \, dx = 8 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm $\int^2_1 g(x) \, dx$: \[ 3 \int^2_1 g(x) \, dx = 8 - 2 \] \[ 3 \int^2_1 g(x) \, dx = 6 \] \[ \int^2_1 g(x) \, dx = \frac{6}{3} = 2 \] Vậy giá trị của tích phân $\int^2_1 g(x) \, dx$ là 2. Câu 5. Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x - 1) = 3x^2 - 6x - 9 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \). Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Ta cần kiểm tra đạo hàm thứ hai \( y'' \) tại các điểm \( x = 3 \) và \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x - 9) = 6x - 6 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y''(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \] Do đó, \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) - 6 = -6 - 6 = -12 < 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 1 \] \[ y(3) = 27 - 27 - 27 - 1 \] \[ y(3) = -28 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \) là \(-28\), đạt được khi \( x = 3 \). Đáp số: \(-28\) Câu 6. Để tính giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] Trong đó: - \(\overrightarrow{a} = (1, -3, 1)\) - \(\overrightarrow{b} = (-1, 1, 2)\) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot (-1) + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 2 \] Tính từng thành phần: \[ 1 \cdot (-1) = -1 \] \[ (-3) \cdot 1 = -3 \] \[ 1 \cdot 2 = 2 \] Cộng lại các kết quả: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1 + (-3) + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] Vậy giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) là \(-2\). Đáp số: \(-2\)