giúp mình câu 6, 8, 10

1. Tìm x biết: a) $(2x - 1)^4 = 16$ \[ (2x - 1)^4 = 16 \implies (2x - 1)^4 = 2^4 \implies 2x - 1 = 2 \text{ hoặc } 2x - 1 = -2 \] \[ 2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \] \[ 2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \] Vậy $x = \frac{3}{2}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$ b) $(4x - 1)^3 = -27$ \[ (4x - 1)^3 = -27 \implies (4x - 1)^3 = (-3)^3 \implies 4x - 1 = -3 \] \[ 4x - 1 = -3 \implies 4x = -2 \implies x = -\frac{1}{2} \] Vậy $x = -\frac{1}{2}$ 2. Tìm x, y, z biết: a) $(3x - 5)^{2024} + (y^2 - 1)^{2026} + (x - z)^{2025} = 0$ Vì $(3x - 5)^{2024} \geq 0$, $(y^2 - 1)^{2026} \geq 0$, $(x - z)^{2025} \geq 0$, nên để tổng bằng 0 thì mỗi số hạng phải bằng 0. \[ 3x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{3} \] \[ y^2 - 1 = 0 \implies y^2 = 1 \implies y = 1 \text{ hoặc } y = -1 \] \[ x - z = 0 \implies z = x = \frac{5}{3} \] Vậy $x = \frac{5}{3}$, $y = 1$ hoặc $y = -1$, $z = \frac{5}{3}$ b) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ và $x^2 + y^2 + z^2 = 116$ Gọi $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$. \[ x = 2k, \quad y = 3k, \quad z = 4k \] Thay vào phương trình: \[ (2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 116 \implies 4k^2 + 9k^2 + 16k^2 = 116 \implies 29k^2 = 116 \implies k^2 = 4 \implies k = 2 \text{ hoặc } k = -2 \] Nếu $k = 2$: \[ x = 4, \quad y = 6, \quad z = 8 \] Nếu $k = -2$: \[ x = -4, \quad y = -6, \quad z = -8 \] Vậy $(x, y, z) = (4, 6, 8)$ hoặc $(x, y, z) = (-4, -6, -8)$ 3. Chứng minh $5^{n+2} + 3^{n+2} - 3^n - 5^n \vdots 24$ Ta có: \[ 5^{n+2} + 3^{n+2} - 3^n - 5^n = 25 \cdot 5^n + 9 \cdot 3^n - 3^n - 5^n \] \[ = 24 \cdot 5^n + 8 \cdot 3^n \] Vì $24 \cdot 5^n$ và $8 \cdot 3^n$ đều chia hết cho 24, nên $5^{n+2} + 3^{n+2} - 3^n - 5^n \vdots 24$ 4. Tìm $x, y \in \mathbb{N}$ biết $\frac{4}{x} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}$ Nhân cả hai vế với 6x: \[ 24 + 2xy = 5x \implies 2xy = 5x - 24 \] \[ y = \frac{5x - 24}{2x} \] Để y là số tự nhiên thì $5x - 24$ phải chia hết cho $2x$. Kiểm tra các giá trị của x: - Nếu $x = 3$: $y = \frac{15 - 24}{6} = -\frac{9}{6}$ (loại) - Nếu $x = 4$: $y = \frac{20 - 24}{8} = -\frac{4}{8}$ (loại) - Nếu $x = 6$: $y = \frac{30 - 24}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ (loại) - Nếu $x = 8$: $y = \frac{40 - 24}{16} = \frac{16}{16} = 1$ (thỏa mãn) Vậy $x = 8$, $y = 1$ 5. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 đều là các số nguyên tố Ta thấy p phải là số lẻ vì nếu p là số chẵn thì p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 sẽ là các số chẵn lớn hơn 2 và không thể là số nguyên tố. Kiểm tra các số lẻ nhỏ: - Nếu p = 3: 3 + 6 = 9 (không là số nguyên tố) - Nếu p = 5: 5 + 6 = 11, 5 + 8 = 13, 5 + 12 = 17, 5 + 14 = 19 (đều là số nguyên tố) Vậy p = 5 6. Chứng minh rằng $10^{2024} + 8 \vdots 72$ Ta có: \[ 10^{2024} + 8 = (10^2)^{1012} + 8 = 100^{1012} + 8 \] Vì $100 \equiv 4 \pmod{72}$, nên: \[ 100^{1012} \equiv 4^{1012} \pmod{72} \] Ta thấy $4^3 = 64 \equiv -8 \pmod{72}$, nên: \[ 4^{1012} = (4^3)^{337} \cdot 4 \equiv (-8)^{337} \cdot 4 \equiv -8 \cdot 4 \equiv -32 \equiv 40 \pmod{72} \] Do đó: \[ 100^{1012} + 8 \equiv 40 + 8 \equiv 48 \equiv 0 \pmod{72} \] Vậy $10^{2024} + 8 \vdots 72$ 7. Cho n là số tự nhiên lẻ không chia hết cho 3. Chứng minh rằng $A = n^2 - 1 \vdots 6$ Ta có: \[ n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1) \] Vì n là số lẻ, nên n - 1 và n + 1 là hai số chẵn liên tiếp, do đó tích của chúng chia hết cho 4. Vì n không chia hết cho 3, nên trong ba số liên tiếp n - 1, n, n + 1 có đúng một số chia hết cho 3. Do đó, tích $(n - 1)(n + 1)$ chia hết cho 3. Vậy $(n - 1)(n + 1)$ chia hết cho cả 4 và 3, tức là chia hết cho 12. Suy ra $n^2 - 1 \vdots 6$ 8. Tìm x, y sao cho $\overline{x183y}$ chia cho 2, 5, 9 đều có dư là 1 Để $\overline{x183y}$ chia cho 2 và 5 có dư là 1, y phải là 1. Thay y = 1 vào $\overline{x1831}$, ta có: \[ \overline{x1831} = x \cdot 10000 + 1831 \] Để $\overline{x1831}$ chia cho 9 có dư là 1, tổng các chữ số của nó phải chia cho 9 dư 1: \[ x + 1 + 8 + 3 + 1 = x + 13 \] Ta cần $x + 13 \equiv 1 \pmod{9} \implies x \equiv -12 \equiv 6 \pmod{9}$ Vậy x = 6. Thay x = 6 vào, ta có $\overline{61831}$ 9. Tìm số nguyên n sao cho $A = \frac{2n + 1}{n + 2}$ cũng là số nguyên Ta có: \[ A = \frac{2n + 1}{n + 2} = 2 - \frac{3}{n + 2} \] Để A là số nguyên, $\frac{3}{n + 2}$ phải là số nguyên, tức là n + 2 phải là ước của 3. Các ước của 3 là ±1, ±3. - Nếu n + 2 = 1: n = -1 - Nếu n + 2 = -1: n = -3 - Nếu n + 2 = 3: n = 1 - Nếu n + 2 = -3: n = -5 Vậy n = -1, -3, 1, -5 10. Cho $\Delta ABC$; tia phân giác $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D; cắt AC ở E. Chứng minh $DE = DB + EC$ Ta có: - $\widehat{ABO} = \widehat{CBO}$ (tia phân giác) - $\widehat{ACO} = \widehat{BCO}$ (tia phân giác) - $\widehat{BOD} = \widehat{BOC}$ (đồng vị) - $\widehat{COE} = \widehat{BOC}$ (đồng vị) - $\widehat{BOD} = \widehat{BOC} = \widehat{COE}$ Do đó, $\Delta BOD$ và $\Delta COE$ là tam giác cân, suy ra $BD = DO$ và $CE = EO$. Vì $DE = DO + OE$, nên $DE = BD + CE$ 11. Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $\widehat{B} = 60^\circ$. Rẽ tia $Cx \perp BC$. Trên Cx lấy đoạn CE = CA (CE, CA cùng một phía đối với BC). Kéo dài CB lấy F sao cho $BF = BA$. Chứng minh: a) $\Delta ACE$ đều - $\widehat{CAE} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ - $\widehat{ACE} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ - $\widehat{AEC} = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$ - Vì CE = CA, nên $\Delta ACE$ đều b) E, A, F thẳng hàng - $\widehat{BAF} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ - $\widehat{CAF} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ - $\widehat{CAE} = 60^\circ$ - Vì $\widehat{CAF} + \widehat{CAE} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$, nên E, A, F thẳng hàng