Giair chi tiet

Câu 6. Để tìm số lượng số nguyên \( m \in [-2024; 2024] \) sao cho đường thẳng \( y = m \) cắt đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} \) tại hai điểm phân biệt, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} \) có ĐKXĐ là \( x \neq 2 \). 2. Tìm giao điểm của đường thẳng \( y = m \) và đồ thị hàm số: Để đường thẳng \( y = m \) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt, phương trình \( \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} = m \) phải có hai nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( x_1 \neq 2 \) và \( x_2 \neq 2 \). 3. Rearrange the equation: \[ \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} = m \] Nhân cả hai vế với \( x - 2 \): \[ -x^2 + 2x - 4 = m(x - 2) \] \[ -x^2 + 2x - 4 = mx - 2m \] \[ -x^2 + 2x - mx - 4 + 2m = 0 \] \[ -x^2 + (2 - m)x + (2m - 4) = 0 \] 4. Phương trình bậc hai: \[ x^2 - (2 - m)x - (2m - 4) = 0 \] 5. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: Phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt nếu \( \Delta > 0 \), trong đó \( \Delta = b^2 - 4ac \). \[ a = 1, \quad b = -(2 - m), \quad c = -(2m - 4) \] \[ \Delta = (-(2 - m))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2m - 4)) \] \[ \Delta = (2 - m)^2 + 4(2m - 4) \] \[ \Delta = 4 - 4m + m^2 + 8m - 16 \] \[ \Delta = m^2 + 4m - 12 \] \[ \Delta = (m + 6)(m - 2) \] 6. Điều kiện để \( \Delta > 0 \): \[ (m + 6)(m - 2) > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ m < -6 \quad \text{hoặc} \quad m > 2 \] 7. Xác định số lượng số nguyên \( m \) trong khoảng \( [-2024; 2024] \): - Số nguyên \( m \) nhỏ hơn -6: từ -2024 đến -7, tổng cộng có \( 2024 - 6 = 2018 \) số. - Số nguyên \( m \) lớn hơn 2: từ 3 đến 2024, tổng cộng có \( 2024 - 2 = 2022 \) số. 8. Tổng số lượng số nguyên \( m \): \[ 2018 + 2022 = 4040 \] Đáp số: 4040