Giair chi tiet Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên $m\in[-2024;2024]$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số,$y=\frac{-x^2+2x-4}{x-2}$ tại hai điểm phân biệt? KQ:,----- HẾT -----

Question

Accepted Answer

Câu 6.
Để tìm số lượng số nguyên $ m \in [-2024; 2024] $ sao cho đường thẳng $ y = m $ cắt đồ thị hàm số $ y = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} $ tại hai điểm phân biệt, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   Hàm số $ y = \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} $ có ĐKXĐ là $ x \neq 2 $.

2. Tìm giao điểm của đường thẳng $ y = m $ và đồ thị hàm số:
   Để đường thẳng $ y = m $ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt, phương trình $ \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} = m $ phải có hai nghiệm phân biệt $ x_1 $ và $ x_2 $ thỏa mãn $ x_1 \neq 2 $ và $ x_2 \neq 2 $.

3. Rearrange the equation:
   $$
   \frac{-x^2 + 2x - 4}{x - 2} = m
   $$
   Nhân cả hai vế với $ x - 2 $:
   $$
   -x^2 + 2x - 4 = m(x - 2)
   $$
   $$
   -x^2 + 2x - 4 = mx - 2m
   $$
   $$
   -x^2 + 2x - mx - 4 + 2m = 0
   $$
   $$
   -x^2 + (2 - m)x + (2m - 4) = 0
   $$

4. Phương trình bậc hai:
   $$
   x^2 - (2 - m)x - (2m - 4) = 0
   $$

5. Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
   Phương trình $ ax^2 + bx + c = 0 $ có hai nghiệm phân biệt nếu $ \Delta > 0 $, trong đó $ \Delta = b^2 - 4ac $.
   $$
   a = 1, \quad b = -(2 - m), \quad c = -(2m - 4)
   $$
   $$
   \Delta = (-(2 - m))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2m - 4))
   $$
   $$
   \Delta = (2 - m)^2 + 4(2m - 4)
   $$
   $$
   \Delta = 4 - 4m + m^2 + 8m - 16
   $$
   $$
   \Delta = m^2 + 4m - 12
   $$
   $$
   \Delta = (m + 6)(m - 2)
   $$

6. Điều kiện để $ \Delta > 0 $:
   $$
   (m + 6)(m - 2) > 0
   $$
   Giải bất phương trình này:
   $$
   m < -6 \quad \text{hoặc} \quad m > 2
   $$

7. Xác định số lượng số nguyên $ m $ trong khoảng $ [-2024; 2024] $:
   - Số nguyên $ m $ nhỏ hơn -6: từ -2024 đến -7, tổng cộng có $ 2024 - 6 = 2018 $ số.
   - Số nguyên $ m $ lớn hơn 2: từ 3 đến 2024, tổng cộng có $ 2024 - 2 = 2022 $ số.

8. Tổng số lượng số nguyên $ m $:
   $$
   2018 + 2022 = 4040
   $$

Đáp số: 4040