có hai xã a b cùng ở một bên sông khoảng cách lần lượt là aa· =550m và bb·=600m khoảng cách a·b·=2200m cho một điểm m∈a·b· sao cho tổng khoáng cách hai xã đến m là nhỏ nhất

Để tìm điểm \( M \) trên đoạn thẳng \( A'B' \) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã \( A \) và \( B \) đến \( M \) là nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của các điểm: - Xã \( A \) cách sông \( A'A \) = 550m. - Xã \( B \) cách sông \( B'B \) = 600m. - Khoảng cách giữa hai điểm trên sông \( A'B' \) = 2200m. 2. Tìm điểm đối xứng của \( B \) qua sông: - Gọi \( B'' \) là điểm đối xứng của \( B \) qua sông \( B'B \). Khoảng cách từ \( B \) đến \( B'' \) sẽ là 1200m (vì \( B'B = 600m \)). 3. Xác định đường thẳng nối \( A \) và \( B'' \): - Khoảng cách từ \( A \) đến \( B'' \) là: \[ AB'' = \sqrt{(A'A + B''B')^2 + (A'B')^2} = \sqrt{(550 + 1200)^2 + 2200^2} = \sqrt{1750^2 + 2200^2} \] \[ AB'' = \sqrt{3062500 + 4840000} = \sqrt{7902500} = 2810 \text{m} \] 4. Tìm giao điểm của đường thẳng \( AB'' \) với \( A'B' \): - Gọi \( M \) là giao điểm của đường thẳng \( AB'' \) với \( A'B' \). Điểm này sẽ là điểm mà tổng khoảng cách từ \( A \) và \( B \) đến \( M \) là nhỏ nhất. 5. Tính toán tỉ lệ để xác định vị trí của \( M \): - Ta có: \[ \frac{AM}{MB'} = \frac{AA'}{B''B'} = \frac{550}{1200} = \frac{11}{24} \] - Do đó, \( AM = \frac{11}{35} \times 2200 = 680 \text{m} \) - \( MB' = \frac{24}{35} \times 2200 = 1520 \text{m} \) 6. Kết luận: - Điểm \( M \) nằm trên đoạn thẳng \( A'B' \) sao cho \( AM = 680 \text{m} \) và \( MB' = 1520 \text{m} \). Vậy điểm \( M \) trên đoạn thẳng \( A'B' \) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã \( A \) và \( B \) đến \( M \) là nhỏ nhất là điểm cách \( A' \) 680m và cách \( B' \) 1520m.