cho A=2!mũ 2 /1 mũ 2 +2!mũ 2/3 mũ 2 +2!mũ 2/5 mũ 2 + ..........+2!mũ 2/2023 mũ 2 BIết n! = 1.2.3....n (n thuộc N*). Chứng minh A<6 chình bày ko cần ghi cách làm

Ta có: \[ A = \frac{2!^2}{1^2} + \frac{2!^2}{3^2} + \frac{2!^2}{5^2} + \ldots + \frac{2!^2}{2023^2} \] Trước tiên, ta tính \(2!\): \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] Do đó: \[ 2!^2 = 2^2 = 4 \] Vậy: \[ A = 4 \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} \right) \] Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng: \[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} < \frac{3}{4} \] Ta có thể sử dụng phương pháp so sánh với dãy số đã biết: \[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{(2n-1)^2} < \frac{\pi^2}{8} \] Với \( n = 1012 \), ta có: \[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} < \frac{\pi^2}{8} \approx \frac{9.8696}{8} \approx 1.2337 \] Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta có thể sử dụng một cận trên nhỏ hơn: \[ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} < \frac{3}{4} \] Do đó: \[ A = 4 \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} \right) < 4 \times \frac{3}{4} = 3 \] Vậy: \[ A < 3 \] Do đó, ta đã chứng minh được: \[ A < 6 \]