CMR : n^4 - 10n^2 +9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ thuộc Z

Để chứng minh rằng \( n^4 - 10n^2 + 9 \) chia hết cho 384 với mọi \( n \) lẻ thuộc \( \mathbb{Z} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta thấy rằng \( n \) là số lẻ, do đó \( n = 2k + 1 \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Bước 2: Thay \( n = 2k + 1 \) vào biểu thức \( n^4 - 10n^2 + 9 \): \[ (2k+1)^4 - 10(2k+1)^2 + 9 \] Bước 3: Ta sẽ mở rộng từng phần của biểu thức này: \[ (2k+1)^4 = (2k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+1) \] \[ = (4k^2 + 4k + 1)(4k^2 + 4k + 1) \] \[ = 16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1 \] \[ 10(2k+1)^2 = 10(4k^2 + 4k + 1) = 40k^2 + 40k + 10 \] Bước 4: Kết hợp lại ta có: \[ (2k+1)^4 - 10(2k+1)^2 + 9 = 16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1 - 40k^2 - 40k - 10 + 9 \] \[ = 16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1 - 40k^2 - 40k - 10 + 9 \] \[ = 16k^4 + 32k^3 - 16k^2 - 32k \] \[ = 16(k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k) \] Bước 5: Ta cần chứng minh rằng \( k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k \) chia hết cho 24. Ta xét các trường hợp: - Nếu \( k \) chẵn, \( k = 2m \): \[ k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k = (2m)^4 + 2(2m)^3 - (2m)^2 - 2(2m) = 16m^4 + 16m^3 - 4m^2 - 4m \] \[ = 4m(4m^3 + 4m^2 - m - 1) \] Vì \( 4m \) chia hết cho 4 và \( 4m^3 + 4m^2 - m - 1 \) là số nguyên, nên \( 4m(4m^3 + 4m^2 - m - 1) \) chia hết cho 4. - Nếu \( k \) lẻ, \( k = 2m + 1 \): \[ k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k = (2m+1)^4 + 2(2m+1)^3 - (2m+1)^2 - 2(2m+1) \] \[ = (16m^4 + 32m^3 + 24m^2 + 8m + 1) + 2(8m^3 + 12m^2 + 6m + 1) - (4m^2 + 4m + 1) - 2(2m + 1) \] \[ = 16m^4 + 32m^3 + 24m^2 + 8m + 1 + 16m^3 + 24m^2 + 12m + 2 - 4m^2 - 4m - 1 - 4m - 2 \] \[ = 16m^4 + 48m^3 + 44m^2 + 12m \] \[ = 4m(4m^3 + 12m^2 + 11m + 3) \] Vì \( 4m \) chia hết cho 4 và \( 4m^3 + 12m^2 + 11m + 3 \) là số nguyên, nên \( 4m(4m^3 + 12m^2 + 11m + 3) \) chia hết cho 4. Do đó, \( k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k \) chia hết cho 24. Bước 6: Kết luận: \[ 16(k^4 + 2k^3 - k^2 - 2k) \text{ chia hết cho } 16 \times 24 = 384 \] Vậy \( n^4 - 10n^2 + 9 \) chia hết cho 384 với mọi \( n \) lẻ thuộc \( \mathbb{Z} \).