Cứu tuiiiiiiiiiiiiii

Câu 7: Để xác định đồ thị hàm số, ta cần kiểm tra các đặc điểm của hàm số như đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang và hành vi của hàm số tại các điểm đặc biệt. 1. Kiểm tra đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = a \) sao cho \( \lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty \). - Ta thấy trong các đáp án, chỉ có các hàm số \( y = \frac{3x}{x+2} \) và \( y = \frac{-3x}{x+2} \) có thể có đường tiệm cận đứng tại \( x = -2 \). Các hàm số còn lại có đường tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). 2. Kiểm tra đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = b \) sao cho \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b \). - Ta tính giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): - \( y = \frac{3x}{x+2} \): \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x}{x+2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{x}} = 3 \) - \( y = \frac{-3x}{x+2} \): \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3x}{x+2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3}{1 + \frac{2}{x}} = -3 \) - \( y = \frac{3x}{x-2} \): \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x}{x-2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3}{1 - \frac{2}{x}} = 3 \) - \( y = \frac{3x-2}{x-2} \): \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x-2}{x-2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - \frac{2}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 3 \) 3. Kiểm tra hành vi của hàm số tại các điểm đặc biệt: - Ta thấy đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ (0,0). Do đó, hàm số phải có dạng \( y = \frac{3x}{x+2} \) hoặc \( y = \frac{3x}{x-2} \) vì chỉ có hai hàm số này thỏa mãn điều kiện này. 4. Kiểm tra dấu của hàm số: - Ta thấy đồ thị hàm số nằm ở cả hai phần trên và dưới trục hoành, do đó hàm số phải có thể nhận giá trị dương và âm. Điều này loại trừ hàm số \( y = \frac{-3x}{x+2} \) vì nó luôn nhận giá trị âm khi \( x > 0 \) và giá trị dương khi \( x < 0 \). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = \frac{3x}{x+2} \) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Vậy đáp án đúng là: A. \( y = \frac{3x}{x+2} \) Câu 8. Để tìm phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi x tiến đến một giá trị cố định. Trong trường hợp này, từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số tiến đến vô cùng khi x tiến đến 1. Do đó, phương trình đường tiệm cận đứng là: \[ x = 1 \] 2. Tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến đến khi x tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng. Để tìm phương trình đường tiệm cận xiên, ta cần tìm giới hạn của $\frac{f(x)}{x}$ khi $x \to \pm \infty$. Từ đồ thị, ta thấy rằng khi x tiến đến dương vô cùng hoặc âm vô cùng, hàm số y = f(x) tiến đến đường thẳng y = x. Do đó, phương trình đường tiệm cận xiên là: \[ y = x \] Vậy phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên của đồ thị đã cho là: \[ x = 1 \] \[ y = x \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( x = 1; y = x \) Đáp số: C. \( x = 1; y = x \) Câu 9. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) = 2x^2 - 9x^2 - 24x + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 9x^2 - 24x + 1) = 4x - 18x - 24 = -14x - 24 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \). \[ f'(x) = -14x - 24 \] Đạo hàm \( f'(x) \) sẽ nhỏ hơn 0 khi: \[ -14x - 24 < 0 \] \[ -14x < 24 \] \[ x > -\frac{24}{14} \] \[ x > -\frac{12}{7} \] Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến. Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( \left( -\frac{12}{7}, +\infty \right) \). Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có khoảng \( \left( -\frac{12}{7}, +\infty \right) \). Do đó, ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho để tìm khoảng nghịch biến gần đúng nhất. Trong các đáp án đã cho: A. \( (-\infty, -1) \) B. \( (-1, 4) \) C. \( (-\infty, 4) \) D. \( (4, +\infty) \) Ta thấy rằng khoảng \( (-1, 4) \) bao gồm một phần của khoảng \( \left( -\frac{12}{7}, +\infty \right) \), do đó đáp án gần đúng nhất là: Đáp án: B. \( (-1, 4) \) Câu 10. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{7 - 6x} \) trên đoạn \([-1; 1]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền xác định của hàm số: Hàm số \( y = \sqrt{7 - 6x} \) có nghĩa khi \( 7 - 6x \geq 0 \). Giải bất phương trình này: \[ 7 - 6x \geq 0 \implies 6x \leq 7 \implies x \leq \frac{7}{6} \] Vì đoạn \([-1; 1]\) nằm trong khoảng \((-\infty, \frac{7}{6}]\), nên hàm số có nghĩa trên toàn bộ đoạn này. 2. Tìm giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn: - Tại \( x = -1 \): \[ y = \sqrt{7 - 6(-1)} = \sqrt{7 + 6} = \sqrt{13} \] - Tại \( x = 1 \): \[ y = \sqrt{7 - 6(1)} = \sqrt{7 - 6} = \sqrt{1} = 1 \] 3. Kiểm tra tính chất của hàm số: Ta thấy rằng hàm số \( y = \sqrt{7 - 6x} \) là hàm số giảm trên đoạn \([-1; 1]\). Do đó, giá trị nhỏ nhất sẽ xảy ra tại điểm cuối đoạn lớn nhất, tức là tại \( x = 1 \). 4. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{7 - 6x} \) trên đoạn \([-1; 1]\) là \( y = 1 \). Vậy đáp án đúng là: C. 1 Đáp số: C. 1 Câu 11. Để xác định hàm số từ bảng biến thiên, chúng ta sẽ phân tích từng đặc điểm của bảng biến thiên. Bước 1: Xác định giới hạn và hành vi của hàm số khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \). - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi \( x \to -\infty \), giá trị của hàm số \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), giá trị của hàm số \( f(x) \to +\infty \). Bước 2: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu. - Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -1 \) với giá trị \( f(-1) = -2 \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( f(1) = 2 \). Bước 3: Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến. - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). Bước 4: Xác định các điểm đặc biệt khác (nếu có). - Bảng biến thiên không cho thấy các điểm đặc biệt khác như điểm uốn hoặc giao điểm với trục hoành/trục tung. Từ các thông tin trên, ta có thể suy ra rằng hàm số có dạng bậc ba vì nó có hai điểm cực trị và hành vi giới hạn khi \( x \to \pm \infty \) là \( \pm \infty \). Một hàm bậc ba có dạng tổng quát là \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Ta thử với hàm số \( f(x) = x^3 - 3x \): - \( f'(x) = 3x^2 - 3 \) - Đặt \( f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) Tại \( x = -1 \): - \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \) (cực đại) Tại \( x = 1 \): - \( f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \) (cực tiểu) Hành vi giới hạn: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \) - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \) Kết luận: Bảng biến thiên cho thấy hàm số \( f(x) = x^3 - 3x \) thỏa mãn tất cả các đặc điểm đã phân tích. Đáp số: \( f(x) = x^3 - 3x \)