Hubyhuhuhy

1. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=\frac{3}{2}$ và công sai $d=\frac{1}{2}$. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: a) Công thức của số hạng tổng quát là $u_n = 1 + \frac{n}{3}$. - Công thức tổng quát của cấp số cộng là $u_n = u_1 + (n-1)d$. - Thay vào ta có: $u_n = \frac{3}{2} + (n-1)\frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n+2}{2}$. - Phát biểu này sai vì $u_n = \frac{n+2}{2}$ chứ không phải $1 + \frac{n}{3}$. b) Số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho là 5. - Ta tính $u_8 = \frac{8+2}{2} = \frac{10}{2} = 5$. - Phát biểu này đúng. c) $\frac{15}{4}$ là một số hạng của cấp số cộng đã cho. - Ta giả sử $\frac{15}{4}$ là số hạng thứ $k$, tức là $u_k = \frac{15}{4}$. - Thay vào công thức tổng quát ta có: $\frac{k+2}{2} = \frac{15}{4}$. - Nhân cả hai vế với 4 ta có: $2(k+2) = 15$. - Giải ra ta có: $k+2 = \frac{15}{2}$, suy ra $k = \frac{15}{2} - 2 = \frac{11}{2}$. - Vì $k$ không là số nguyên nên $\frac{15}{4}$ không phải là số hạng của cấp số cộng. - Phát biểu này sai. d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng $(u_n)$ bằng 2620. - Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng là $S_n = \frac{n}{2}(2u_1 + (n-1)d)$. - Thay vào ta có: $S_{100} = \frac{100}{2}(2 \cdot \frac{3}{2} + (100-1) \cdot \frac{1}{2}) = 50(3 + 49 \cdot \frac{1}{2}) = 50(3 + 24.5) = 50 \cdot 27.5 = 1375$. - Phát biểu này sai vì tổng 100 số hạng đầu tiên là 1375 chứ không phải 2620. 2. Tính các giới hạn: a) $\lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{2n-1}$. - Chia cả tử và mẫu cho $n$: $\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{2 - \frac{1}{n}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}$. b) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4n^2 + 2n} - 2n)$. - Nhân lượng liên hợp: $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{4n^2 + 2n} - 2n \right) \cdot \frac{\sqrt{4n^2 + 2n} + 2n}{\sqrt{4n^2 + 2n} + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(4n^2 + 2n) - 4n^2}{\sqrt{4n^2 + 2n} + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{4n^2 + 2n} + 2n}$. - Chia cả tử và mẫu cho $n$: $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{4 + \frac{2}{n}} + 2} = \frac{2}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. c) $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 - 11n + 1}{n^2 - 2}$. - Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n - \frac{11}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{2}{n^2}} = \frac{2n - 0 + 0}{1 - 0} = 2n$. - Vì $n \to \infty$ nên giới hạn này không tồn tại (tức là vô cùng). Đáp số: 1. a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai. 2. a) $\frac{3}{2}$, b) $\frac{1}{2}$, c) Không tồn tại.