giúp mình với

Câu 6. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( m \) sao cho tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(t) \) và đảm bảo đạo hàm này luôn dương trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Hàm số đã cho là: \[ f(t) = 500(t^2 + me^{-t}) \] Tính đạo hàm của \( f(t) \): \[ f'(t) = 500 \left( 2t - me^{-t} \right) \] Để tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu tiên, ta cần: \[ f'(t) > 0 \quad \text{cho mọi} \quad t \in [0, 10] \] Do đó: \[ 500 \left( 2t - me^{-t} \right) > 0 \] \[ 2t - me^{-t} > 0 \] \[ 2t > me^{-t} \] \[ m < 2te^{t} \] Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( m \) sao cho bất đẳng thức trên luôn đúng trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Để làm điều này, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( 2te^{t} \) trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm. Xét hàm số \( g(t) = 2te^{t} \). Tính đạo hàm của \( g(t) \): \[ g'(t) = 2(e^{t} + te^{t}) = 2e^{t}(1 + t) \] Đạo hàm \( g'(t) \) luôn dương cho mọi \( t \geq 0 \), do đó hàm số \( g(t) \) là hàm số đồng biến trên khoảng \( [0, 10] \). Vậy giá trị lớn nhất của \( g(t) \) trong khoảng này sẽ là: \[ g(10) = 2 \cdot 10 \cdot e^{10} = 20e^{10} \] Do đó, để đảm bảo \( m < 2te^{t} \) luôn đúng trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm, ta cần: \[ m < 20e^{10} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( m \) là: \[ m = 20e^{10} \] Đáp số: \( m = 20e^{10} \) Câu 7. Gọi C là điểm trên bờ sông sao cho đoạn đường AC + CB là ngắn nhất. Ta có AC + CB < AD + DB Hay AC - AD < DB - CB Xét tam giác ACD có AC - AD < CD (1) Xét tam giác DBC có DB - CB < CD (2) Từ (1) và (2) ta có AC - AD < CD < DB - CB Vậy AC + CB < AD + DB Do đó đoạn đường ngắn nhất là AC + CB Ta có AC^2 = 118^2 + CD^2 CB^2 = 487^2 + CD^2 AC + CB < AD + DB Hay AC^2 + CB^2 + 2AC.CB < AD^2 + DB^2 + 2AD.DB 118^2 + 487^2 + 2CD^2 + 2AC.CB < 615^2 + 2AD.DB 2AC.CB < 615^2 - 118^2 - 487^2 + 2AD.DB 2AC.CB < 2AD.DB AC.CB < AD.DB CD^2 < AD.DB CD < $\sqrt{AD.DB}$ = $\sqrt{118 \times 487}$ = $\sqrt{57466}$ < 240 Vậy AC + CB < $\sqrt{118^2 + 240^2}$ + $\sqrt{487^2 + 240^2}$ < 270 + 550 = 820 Mặt khác AC + CB > AB = 615 Vậy đoạn đường ngắn nhất là số nguyên dương mà người đó có thể đi là 819 m. Câu 8. Để tìm giá trị của \( t \) sao cho số người nhận phúc lợi tối đa, ta cần tìm cực đại của hàm số \( n(t) = \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t \) trên đoạn \([0, 12]\). Bước 1: Tính đạo hàm của \( n(t) \): \[ n'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t\right) = t^2 - 12t + 32 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( n'(t) = 0 \): \[ t^2 - 12t + 32 = 0 \] Phương trình này có thể được giải bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ t = \frac{12 + 4}{2} = 8 \quad \text{và} \quad t = \frac{12 - 4}{2} = 4 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị \( t = 0 \), \( t = 4 \), \( t = 8 \), và \( t = 12 \) để tìm giá trị lớn nhất của \( n(t) \): - Khi \( t = 0 \): \[ n(0) = \frac{0^3}{3} - 6 \cdot 0^2 + 32 \cdot 0 = 0 \] - Khi \( t = 4 \): \[ n(4) = \frac{4^3}{3} - 6 \cdot 4^2 + 32 \cdot 4 = \frac{64}{3} - 96 + 128 = \frac{64}{3} + 32 = \frac{64 + 96}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \] - Khi \( t = 8 \): \[ n(8) = \frac{8^3}{3} - 6 \cdot 8^2 + 32 \cdot 8 = \frac{512}{3} - 384 + 256 = \frac{512}{3} - 128 = \frac{512 - 384}{3} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \] - Khi \( t = 12 \): \[ n(12) = \frac{12^3}{3} - 6 \cdot 12^2 + 32 \cdot 12 = \frac{1728}{3} - 864 + 384 = 576 - 864 + 384 = 96 \] So sánh các giá trị trên, ta thấy \( n(12) = 96 \) là giá trị lớn nhất. Vậy, số người nhận phúc lợi tối đa là 96 ngàn người, xảy ra khi \( t = 12 \) năm. Đáp số: \( t = 12 \) năm, số người nhận phúc lợi tối đa là 96 ngàn người. Câu 9. Gọi độ dài đoạn dây thứ nhất là $a$, đoạn dây thứ hai là $b$. Ta có: $a + b = 60 \Rightarrow b = 60 - a$ Diện tích tam giác đều là: $S_{\Delta} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ Diện tích hình vuông là: $S_{hv} = b^2 = (60 - a)^2$ Tổng diện tích là: $T = S_{\Delta} + S_{hv} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + (60 - a)^2$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của T, ta tính đạo hàm của T theo a và tìm điểm cực tiểu. $T' = \frac{d}{da}\left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + (60 - a)^2\right)$ $= \frac{2a \sqrt{3}}{4} + 2(60 - a)(-1)$ $= \frac{a \sqrt{3}}{2} - 2(60 - a)$ $= \frac{a \sqrt{3}}{2} - 120 + 2a$ Đặt $T' = 0$ để tìm điểm cực tiểu: $\frac{a \sqrt{3}}{2} - 120 + 2a = 0$ $\frac{a \sqrt{3}}{2} + 2a = 120$ $a \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right) = 120$ $a = \frac{120}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 2}$ $a = \frac{120}{\frac{\sqrt{3} + 4}{2}}$ $a = \frac{240}{\sqrt{3} + 4}$ Rationalizing the denominator: $a = \frac{240 (\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)}$ $a = \frac{240 (\sqrt{3} - 4)}{3 - 16}$ $a = \frac{240 (\sqrt{3} - 4)}{-13}$ $a = \frac{-240 (\sqrt{3} - 4)}{13}$ $a = \frac{240 (4 - \sqrt{3})}{13}$ $b = 60 - a = 60 - \frac{240 (4 - \sqrt{3})}{13}$ Để tính giá trị nhỏ nhất của T, thay giá trị của a vào biểu thức của T: $T = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + (60 - a)^2$ $T = \frac{\left(\frac{240 (4 - \sqrt{3})}{13}\right)^2 \sqrt{3}}{4} + \left(60 - \frac{240 (4 - \sqrt{3})}{13}\right)^2$ Sau khi thực hiện các phép tính, ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của T. Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích là $\frac{900}{4 + \sqrt{3}}$. Câu 10. Gọi chiều dài và chiều rộng của mỗi khu đất trồng rau lần lượt là x (m) và y (m). Diện tích của hai khu đất trồng rau là S = 2xy (m^2) Chi phí để làm hàng rào là: 60 000 × 2x + 50 000 × 3y ≤ 15 000 000 => 2x + 2,5y ≤ 250 => y ≤ 100 - 0,8x Ta có: S = 2xy ≤ 2x(100 - 0,8x) = -1,6x^2 + 200x Biểu thức trên đạt giá trị lớn nhất khi x = 200 : (2 × 1,6) = 62,5 (m) Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất trồng rau là 6 250 m^2.