giúp mình với

Câu 4. a) Ta có $f'(t)=\frac{120}{(t+5)^2}>0,\forall t\ge 0$. Vậy hàm số đồng biến trên $[0;+\infty).$ b) Ta có $f'(t)=\frac{120}{(t+5)^2}$. Vào năm 1998 thì $t=28.$ Thay vào ta được $f'(28)=\frac{120}{(28+5)^2}=0,125$ (nghìn người/năm). c) Đầu năm 1995 thì $t=25.$ Thay vào ta được $f(25)=\frac{26\times 25+10}{25+5}=23$ (nghìn người). d) Đầu năm 1980 thì $t=10.$ Thay vào ta được $f(10)=\frac{26\times 10+10}{10+5}=18$ (nghìn người). Câu 1. Để tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^3 - 3x^2 + m \) trên đoạn \([-1, 1]\) bằng 0, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 - 3x^2 + m) = -3x^2 - 6x \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị của hàm số trên đoạn \([-1, 1]\) bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = -3x^2 - 6x = 0 \] \[ -3x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Trong đó, chỉ có \( x = 0 \) nằm trong đoạn \([-1, 1]\). Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị. - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^3 - 3(-1)^2 + m = 1 - 3 + m = -2 + m \] - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = -0^3 - 3 \cdot 0^2 + m = m \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 - 3(1)^2 + m = -1 - 3 + m = -4 + m \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính để xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1, 1]\). - \( y(-1) = -2 + m \) - \( y(0) = m \) - \( y(1) = -4 + m \) Trong ba giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( y(1) = -4 + m \). Bước 5: Đặt giá trị nhỏ nhất bằng 0 để tìm \( m \). \[ -4 + m = 0 \] \[ m = 4 \] Vậy, giá trị của tham số \( m \) để giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^3 - 3x^2 + m \) trên đoạn \([-1, 1]\) bằng 0 là \( m = 4 \). Câu 2. Chiều cao của chiếc hộp là x cm, chiều dài là $(80-2x)$ cm, chiều rộng là $(30-2x)$ cm. Thể tích chiếc hộp là $V(x)=x(80-2x)(30-2x)=4x^{3}-220x^{2}+2400x$ Ta có $V'(x)=12x^{2}-440x+2400$ $V'(x)=0\Leftrightarrow 12x^{2}-440x+2400=0$ $\Delta =440^{2}-4\times 12\times 2400=102400>0$ $x_{1}=\frac{440-320}{24}=5; x_{2}=\frac{440+320}{24}=30$ Do $5\leq x\leq 10$ nên ta có bảng biến thiên: | x | 5 | $\rightarrow$ | 10 | |---|---|---|---| | V'(x) | 0 | + | 0 | | V(x) | 0 | $\nearrow$ | 0 | Bảng trên cho thấy $V(x)$ đồng biến trên khoảng $(5;10)$ nên $V(x)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=10$. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng phần của hàm số và bảng biến thiên để xác định dấu của các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\). 1. Phân tích hàm số và bảng biến thiên: - Hàm số đã cho là \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). - Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\) và cực tiểu tại \(x = 1\). 2. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] - Tại điểm cực đại \(x = -1\), ta có \(f'(-1) = 0\): \[ 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 0 \implies 3a - 2b + c = 0 \] - Tại điểm cực tiểu \(x = 1\), ta có \(f'(1) = 0\): \[ 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \implies 3a + 2b + c = 0 \] 3. Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3a - 2b + c = 0 \\ 3a + 2b + c = 0 \end{cases} \] - Trừ hai phương trình: \[ (3a - 2b + c) - (3a + 2b + c) = 0 \implies -4b = 0 \implies b = 0 \] - Thay \(b = 0\) vào một trong hai phương trình: \[ 3a + c = 0 \implies c = -3a \] 4. Xác định dấu của các hệ số: - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số giảm từ trái sang phải qua điểm cực đại \(x = -1\) và tăng từ trái sang phải qua điểm cực tiểu \(x = 1\). Điều này chỉ ra rằng \(a < 0\) (vì hàm số bậc ba có hệ số \(a\) âm sẽ giảm trước khi tăng). - Do \(c = -3a\) và \(a < 0\), suy ra \(c > 0\). 5. Kết luận: - \(a < 0\) - \(b = 0\) - \(c > 0\) - \(d\) không ảnh hưởng đến dấu của các hệ số khác, nhưng không có thông tin cụ thể về dấu của \(d\) từ bảng biến thiên. Do đó, trong các số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), chỉ có \(c\) là số dương. Đáp số: Có 1 số dương trong các số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\). Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$ để tìm giá trị của các tham số $a$, $b$, và $c$. Sau đó, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức $T = a + 2b + 3c$. Bước 1: Xác định các đặc điểm của đồ thị 1. Tiệm cận đứng: Đồ thị có tiệm cận đứng tại $x = -c$. Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng nằm ở $x = -1$. Do đó, ta có: \[ -c = -1 \implies c = 1 \] 2. Tiệm cận ngang: Đồ thị có tiệm cận ngang tại $y = a$. Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận ngang nằm ở $y = 2$. Do đó, ta có: \[ a = 2 \] 3. Điểm giao với trục tung: Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0, y)$. Thay $x = 0$ vào phương trình hàm số, ta có: \[ y = \frac{a \cdot 0 + b}{0 + c} = \frac{b}{c} \] Từ đồ thị, ta thấy điểm giao với trục tung là $(0, 1)$. Do đó, ta có: \[ \frac{b}{c} = 1 \implies b = c = 1 \] Bước 2: Tính giá trị của biểu thức $T$ Bây giờ, ta đã biết các giá trị của $a$, $b$, và $c$: \[ a = 2, \quad b = 1, \quad c = 1 \] Ta tính giá trị của biểu thức $T = a + 2b + 3c$: \[ T = 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 2 + 3 = 7 \] Kết luận Giá trị của biểu thức $T = a + 2b + 3c$ là: \[ \boxed{7} \] Câu 5. Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm được tìm bằng cách tính đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \). \[ s(t) = -t^3 + 6t^2 + t + 5 \] Tính đạo hàm: \[ v(t) = s'(t) = -3t^2 + 12t + 1 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực đại: Để tìm thời điểm mà vận tốc tức thời đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0. \[ v'(t) = (-3t^2 + 12t + 1)' = -6t + 12 \] Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ -6t + 12 = 0 \] \[ 6t = 12 \] \[ t = 2 \] 3. Kiểm tra tính chất của cực đại: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = (-6t + 12)' = -6 \] Vì \( v''(t) = -6 < 0 \), nên \( t = 2 \) là điểm cực đại của \( v(t) \). 4. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm \( t = 2 \): \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 1 \] \[ v(2) = -3(4) + 24 + 1 \] \[ v(2) = -12 + 24 + 1 \] \[ v(2) = 13 \] Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 5 giây đầu tiên là 13 m/s. Câu 6. Để hàm số $y=\frac{m}{3}x^{3}-2mx^{2}+(3m+5)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn lớn hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left(\frac{m}{3}x^{3} - 2mx^{2} + (3m+5)x\right)' = mx^{2} - 4mx + (3m + 5) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần: \[ y' \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] \[ mx^{2} - 4mx + (3m + 5) \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Xét tính chất của tam thức bậc hai $f(x) = mx^{2} - 4mx + (3m + 5)$: - Để tam thức bậc hai luôn lớn hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$, hệ số $m$ phải lớn hơn 0 và biệt thức $B = b^{2} - 4ac$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. Bước 4: Áp dụng điều kiện trên vào tam thức $f(x)$: - Hệ số $m > 0$ - Biệt thức $B = (-4m)^{2} - 4 \cdot m \cdot (3m + 5) \leq 0$ Bước 5: Tính biệt thức: \[ B = 16m^{2} - 4m(3m + 5) \] \[ B = 16m^{2} - 12m^{2} - 20m \] \[ B = 4m^{2} - 20m \] Bước 6: Giải bất phương trình $4m^{2} - 20m \leq 0$: \[ 4m(m - 5) \leq 0 \] \[ m(m - 5) \leq 0 \] Bước 7: Tìm nghiệm của bất phương trình: \[ m = 0 \quad \text{hoặc} \quad m = 5 \] Do đó, $m$ nằm trong khoảng: \[ 0 \leq m \leq 5 \] Bước 8: Kết hợp điều kiện $m > 0$, ta có: \[ 0 < m \leq 5 \] Bước 9: Tìm các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên: \[ m = 1, 2, 3, 4, 5 \] Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp số: 5 giá trị nguyên của $m$.