Giải chi tiết

Để giải quyết các bài toán một cách chi tiết và lập luận từng bước, chúng ta sẽ tuân theo các quy tắc đã nêu trên. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán đại số theo phương pháp này. Bài toán: Giải phương trình $\frac{x+1}{x-2} = \frac{x-3}{x+4}$ Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có chứa các phân thức, do đó ta phải đảm bảo rằng mẫu số của các phân thức không bằng không. Điều kiện xác định là: \[ x - 2 \neq 0 \quad \text{và} \quad x + 4 \neq 0 \] Từ đó suy ra: \[ x \neq 2 \quad \text{và} \quad x \neq -4 \] Bước 2: Nhân cả hai vế với $(x-2)(x+4)$ để loại bỏ mẫu số \[ (x+1)(x+4) = (x-3)(x-2) \] Bước 3: Mở ngoặc và thu gọn \[ x^2 + 4x + x + 4 = x^2 - 2x - 3x + 6 \] \[ x^2 + 5x + 4 = x^2 - 5x + 6 \] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế và thu gọn \[ x^2 + 5x + 4 - x^2 + 5x - 6 = 0 \] \[ 10x - 2 = 0 \] Bước 5: Giải phương trình bậc nhất \[ 10x = 2 \] \[ x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định Ta thấy $x = \frac{1}{5}$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 2$ và $x \neq -4$. Do đó, $x = \frac{1}{5}$ là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{5}$. Lời giải cuối cùng: \[ \boxed{\frac{1}{5}} \] Câu 12: Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt từ một miếng tôn dạng nửa hình tròn có bán kính \( R = 4 \) dm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ tâm và phương trình đường tròn: - Tâm của nửa hình tròn là \( O(0, 0) \). - Phương trình của đường tròn đầy đủ là \( x^2 + y^2 = R^2 \), trong đó \( R = 4 \). Do đó, phương trình của nửa hình tròn trên là \( x^2 + y^2 = 16 \) với \( y \geq 0 \). 2. Xác định tọa độ của các đỉnh của hình chữ nhật: - Giả sử hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên đường tròn là \( A(x, y) \) và \( B(-x, y) \). - Hai đỉnh còn lại của hình chữ nhật nằm trên trục hoành là \( C(-x, 0) \) và \( D(x, 0) \). 3. Diện tích của hình chữ nhật: - Chiều dài của hình chữ nhật là \( 2x \). - Chiều rộng của hình chữ nhật là \( y \). - Diện tích \( S \) của hình chữ nhật là \( S = 2x \cdot y \). 4. Thay \( y \) từ phương trình đường tròn vào diện tích: - Từ phương trình \( x^2 + y^2 = 16 \), ta có \( y = \sqrt{16 - x^2} \). - Do đó, diện tích \( S \) là \( S = 2x \cdot \sqrt{16 - x^2} \). 5. Tìm giá trị cực đại của diện tích: - Để tìm giá trị cực đại của \( S \), ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \): \[ S = 2x \sqrt{16 - x^2} \] \[ \frac{dS}{dx} = 2 \left( \sqrt{16 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{16 - x^2}} \right) \] \[ \frac{dS}{dx} = 2 \left( \sqrt{16 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \right) \] \[ \frac{dS}{dx} = 2 \left( \frac{16 - x^2 - x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \right) \] \[ \frac{dS}{dx} = 2 \left( \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \right) \] - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại: \[ \frac{16 - 2x^2}{\sqrt{16 - x^2}} = 0 \] \[ 16 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 16 \] \[ x^2 = 8 \] \[ x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 6. Tính diện tích tại điểm cực đại: - Khi \( x = 2\sqrt{2} \), ta có: \[ y = \sqrt{16 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Diện tích \( S \) là: \[ S = 2x \cdot y = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ (dm}^2\text{)} \] Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể cắt được là \( 16 \text{ (dm}^2\text{)} \). Đáp án đúng là: A. \( 16 \text{ (dm}^2\text{)} \).