Giải chi tiết

Để giải quyết các bài toán một cách chi tiết và lập luận từng bước, chúng ta sẽ tuân theo các quy tắc đã nêu trên. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán đại số theo phương pháp này. Bài toán: Giải phương trình $\frac{x+1}{x-2} = \frac{x-3}{x+4}$ Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có chứa các phân thức, do đó ta phải đảm bảo rằng mẫu số của các phân thức không bằng không. Điều kiện xác định là: \[ x - 2 \neq 0 \quad \text{và} \quad x + 4 \neq 0 \] Từ đó suy ra: \[ x \neq 2 \quad \text{và} \quad x \neq -4 \] Bước 2: Nhân cả hai vế với $(x-2)(x+4)$ để loại bỏ mẫu số \[ (x+1)(x+4) = (x-3)(x-2) \] Bước 3: Mở ngoặc và thu gọn \[ x^2 + 4x + x + 4 = x^2 - 2x - 3x + 6 \] \[ x^2 + 5x + 4 = x^2 - 5x + 6 \] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế và thu gọn \[ x^2 + 5x + 4 - x^2 + 5x - 6 = 0 \] \[ 10x - 2 = 0 \] Bước 5: Giải phương trình bậc nhất \[ 10x = 2 \] \[ x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định Ta thấy rằng $x = \frac{1}{5}$ thỏa mãn điều kiện xác định $x \neq 2$ và $x \neq -4$. Kết luận: Phương trình $\frac{x+1}{x-2} = \frac{x-3}{x+4}$ có nghiệm là $x = \frac{1}{5}$. Đáp số: $x = \frac{1}{5}$ Câu 13: a) Đúng vì $f'(x)< 0$ trên khoảng $(0;3)$ nên hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;3).$ b) Sai vì $f'(x)>0$ trên khoảng $(-\infty;0)$ và $f'(x)< 0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0;2).$ c) Xét $h'(x)=(x-1)f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $f'(x)=0.$ Từ bảng xét dấu $f'(x)$ ta thấy $f'(x)=0$ tại $x=0,x=2,x=3.$ Do đó $h'(x)=0$ tại $x=0,x=1,x=2,x=3.$ Ta có: - $h'(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(1;2).$ - $h'(x)< 0$ trên các khoảng $(0;1)$ và $(2;3).$ - $h'(x)>0$ trên khoảng $(3;+\infty).$ Vậy hàm số $y=h(x)$ có 4 điểm cực trị. d) Ta có: - $f(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty).$ - $f(x)< 0$ trên các khoảng $(0;2).$ - $f(x)=0$ tại $x=0,x=2.$ Do đó $|f(x)|=f(x)$ trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty).$ $|f(x)|=-f(x)$ trên các khoảng $(0;2).$ Ta có: - $f'(x)>0$ trên khoảng $(-\infty;0)$ nên $|f(x)|'=f'(x)>0$ trên khoảng $(-\infty;0).$ - $f'(x)< 0$ trên khoảng $(0;2)$ nên $|f(x)|'=-f'(x)>0$ trên khoảng $(0;2).$ - $f'(x)>0$ trên khoảng $(2;+\infty)$ nên $|f(x)|'=f'(x)>0$ trên khoảng $(2;+\infty).$ Vậy hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên $R$ nên không có điểm cực trị. Câu 14: a) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$ vì hàm số $y=\frac{x^2+x-3}{x-2}$ có mẫu số là $x-2$, và khi $x=2$, mẫu số bằng 0, dẫn đến hàm số không xác định tại điểm này. Do đó, đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị (C). b) Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$. Để tìm tiệm cận ngang, ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 3}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2})}{x(1 - \frac{2}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2})}{1 - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{2}{x}} = \infty \] Do đó, hàm số không có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$. c) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-3$. Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức: \[ \frac{x^2 + x - 3}{x - 2} = x + 3 + \frac{3}{x - 2} \] Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{3}{x - 2}$ tiến đến 0, do đó tiệm cận xiên là $y = x + 3$. d) Gọi S là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C). Khi đó, số phần tử của S là 3. Để tìm các điểm có tọa độ nguyên, ta thay các giá trị nguyên vào hàm số và kiểm tra: - Khi $x = 0$, $y = \frac{0^2 + 0 - 3}{0 - 2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$ (không phải số nguyên). - Khi $x = 1$, $y = \frac{1^2 + 1 - 3}{1 - 2} = \frac{1 + 1 - 3}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1$ (số nguyên). - Khi $x = 2$, hàm số không xác định. - Khi $x = 3$, $y = \frac{3^2 + 3 - 3}{3 - 2} = \frac{9 + 3 - 3}{1} = 9$ (số nguyên). - Khi $x = 4$, $y = \frac{4^2 + 4 - 3}{4 - 2} = \frac{16 + 4 - 3}{2} = \frac{17}{2}$ (không phải số nguyên). - Khi $x = 5$, $y = \frac{5^2 + 5 - 3}{5 - 2} = \frac{25 + 5 - 3}{3} = \frac{27}{3} = 9$ (số nguyên). Vậy các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C) là $(1, 1)$, $(3, 9)$, và $(5, 9)$. Số phần tử của S là 3. Đáp án đúng là d) Gọi S là tập hợp tất cả các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C). Khi đó, số phần tử của S là 3. Câu 15: a) Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. Từ đó ta có $c=-1$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$, suy ra $a=2$. b) Ta có $f'(x) = \frac{-2-b}{(x+1)^2} < 0, \forall x \neq -1$. Từ đó ta có $-2-b < 0$, suy ra $b > -2$. c) Ta có $a+b+c=0$. Thay $a=2$ và $c=-1$ vào ta được $2+b-1=0$, suy ra $b=-1$. Vậy $a=2$, $b=-1$, $c=-1$.