giúp em với ạ. Câu 58. Tìm tọa độ điểm A.trên trục Oyysạo cho khoảng cácc từ điểm MMđến mặt phẳng ((P),$2x-y+3z-4=0$ nhỏ nhất?

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 58.
Để tìm tọa độ điểm $ M $ trên trục $ Oy $ sao cho khoảng cách từ điểm $ M $ đến mặt phẳng $ (P): 2x - y + 3z - 4 = 0 $ nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ điểm $ M $:
   Vì điểm $ M $ nằm trên trục $ Oy $, tọa độ của nó sẽ có dạng $ M(0, y, 0) $.

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $ M $ và vuông góc với mặt phẳng $ (P) $:
   Mặt phẳng $ (P) $ có vectơ pháp tuyến $ \vec{n} = (2, -1, 3) $. Đường thẳng đi qua điểm $ M(0, y, 0) $ và vuông góc với mặt phẳng $ (P) $ sẽ có phương hướng theo vectơ pháp tuyến này. Do đó, phương trình tham số của đường thẳng này là:
   $$
   \begin{cases}
   x = 0 + 2t \
   y = y - t \
   z = 0 + 3t
   \end{cases}
   $$
   Hay:
   $$
   \begin{cases}
   x = 2t \
   y = y - t \
   z = 3t
   \end{cases}
   $$

3. Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng $ (P) $:
   Thay $ x = 2t $, $ y = y - t $, $ z = 3t $ vào phương trình mặt phẳng $ (P) $:
   $$
   2(2t) - (y - t) + 3(3t) - 4 = 0
   $$
   $$
   4t - y + t + 9t - 4 = 0
   $$
   $$
   14t - y - 4 = 0
   $$
   $$
   y = 14t - 4
   $$

4. Xác định giá trị của $ t $ để khoảng cách nhỏ nhất:
   Để khoảng cách từ điểm $ M $ đến mặt phẳng $ (P) $ nhỏ nhất, điểm $ M $ phải nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ (P) $ và đi qua tâm của mặt phẳng. Ta thấy rằng khi $ t = 0 $, ta có $ y = -4 $. Do đó, tọa độ của điểm $ M $ là $ M(0, -4, 0) $.

5. Kết luận:
   Tọa độ điểm $ M $ trên trục $ Oy $ sao cho khoảng cách từ điểm $ M $ đến mặt phẳng $ (P) $ nhỏ nhất là $ M(0, -4, 0) $.

Đáp số: $ M(0, -4, 0) $.

Answer

Câu 58.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $ \vec{n} = (2, -1, 3) $

Đường thẳng đi qua điểm M(0, y, 0) và vuông góc với mặt phẳng (P)

Ta có
$
\begin{cases}
x = 0 + 2t \
y = y - t \
z = 0 + 3t
\end{cases}
$
$
\begin{cases}
x = 2t \
y = y - t \
z = 3t
\end{cases}$
Thay x = 2t , y = y - t , z = 3t vào phương trình mặt phẳng (P)
$4t - y + t + 9t - 4 = 0$
$y = 14t - 4$
Để khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) nhỏ nhất, điểm M phải nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua tâm của mặt phẳng

Do đó M(0, -4, 0)