Cho A=1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/n^2. CMR A<1.

Ta có: \[ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} < \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \] \[ \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} < \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \] ... \[ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1) \times n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \] Do đó: \[ A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) \] Nhận thấy rằng đây là một dãy tổng có các số hạng liên tiếp triệt tiêu lẫn nhau: \[ A < 1 - \frac{1}{n} \] Vì \( \frac{1}{n} > 0 \), nên: \[ 1 - \frac{1}{n} < 1 \] Do đó: \[ A < 1 \] Vậy ta đã chứng minh được \( A < 1 \).