giúp mình với

Câu 19. Gọi chiều rộng và chiều cao của bể cá là x (m) (0 < x ≤ 2,5) Chiều dài của bể cá là: 2x (m) Diện tích toàn phần của bể cá là: $2x^2 + 6x^2 = 8x^2$ Theo đề bài ta có: $8x^2 = 5 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{10}}{4}$ Dung tích của bể cá là: $2x \times x \times x = 2x^3$ Ta có: $f(x) = 2x^3$ $f'(x) = 6x^2$ $f'(\frac{\sqrt{10}}{4}) = 6 \times (\frac{\sqrt{10}}{4})^2 = \frac{15}{4} > 0$ Do đó $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 2,5]$. Vậy $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = \frac{\sqrt{10}}{4}$ Vậy dung tích lớn nhất của bể cá là: $2 \times (\frac{\sqrt{10}}{4})^3 = \frac{5\sqrt{10}}{16} \approx 0,99 (m^3)$ Đáp số: 0,99 m³ Câu 20. Để tìm thời điểm mà số vi khuẩn lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số $f(t) = 1000 + 30t^2 - t^3$ trong khoảng $0 \leq t \leq 30$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(t)$. \[ f'(t) = \frac{d}{dt}(1000 + 30t^2 - t^3) = 60t - 3t^2 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $f'(t) = 0$. \[ 60t - 3t^2 = 0 \] \[ 3t(20 - t) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 20 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị này bằng cách tính đạo hàm bậc hai của hàm số $f(t)$. \[ f''(t) = \frac{d}{dt}(60t - 3t^2) = 60 - 6t \] - Tại $t = 0$: \[ f''(0) = 60 - 6 \cdot 0 = 60 > 0 \] Do đó, $t = 0$ là điểm cực tiểu. - Tại $t = 20$: \[ f''(20) = 60 - 6 \cdot 20 = 60 - 120 = -60 < 0 \] Do đó, $t = 20$ là điểm cực đại. Bước 4: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của khoảng $[0, 30]$. - Tại $t = 0$: \[ f(0) = 1000 + 30 \cdot 0^2 - 0^3 = 1000 \] - Tại $t = 20$: \[ f(20) = 1000 + 30 \cdot 20^2 - 20^3 = 1000 + 30 \cdot 400 - 8000 = 1000 + 12000 - 8000 = 5000 \] - Tại $t = 30$: \[ f(30) = 1000 + 30 \cdot 30^2 - 30^3 = 1000 + 30 \cdot 900 - 27000 = 1000 + 27000 - 27000 = 1000 \] Từ các kết quả trên, ta thấy rằng giá trị lớn nhất của hàm số $f(t)$ trong khoảng $0 \leq t \leq 30$ là 5000, xảy ra tại $t = 20$. Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn lớn nhất. Đáp số: 20 phút. Câu 21. Gọi số tiền của một chuyến xe buýt thu được là y (USD) Ta có $y=x(3-\frac x{40})^2$ $y'=(3-\frac x{40})^2+x\times 2(3-\frac x{40})\times (-\frac 1{40})$ $=\frac 1{80}(3-\frac x{40})(60-x)$ $y'=0$ suy ra $x=60$ hoặc $x=120$ $x=120$ bị loại vì không thỏa mãn điều kiện bài toán $x=60$ thì $y=900$ Vậy số tiền cao nhất của một chuyến xe buýt thu được là 900 USD. Câu 22. Gọi khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là t giờ. Khi chèo thuyền từ A đến C và chạy từ C đến B thì thời gian phải đi là: $\frac{3}{6} + \frac{8}{8} = 1,5$ (giờ) Khi chèo thuyền từ A đến B thì thời gian phải đi là: $\frac{\sqrt{3^{2}+8^{2}}}{6} = \frac{\sqrt{73}}{6} \approx 1,47$ (giờ) Khi chèo thuyền từ A đến D và chạy từ D đến B thì thời gian phải đi là: $\frac{\sqrt{3^{2}+x^{2}}}{6} + \frac{8-x}{8}$ (giờ) Ta có: $f(x) = \frac{\sqrt{3^{2}+x^{2}}}{6} + \frac{8-x}{8}$ $f'(x) = \frac{x}{6\sqrt{3^{2}+x^{2}}} - \frac{1}{8}$ $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{6\sqrt{3^{2}+x^{2}}} = \frac{1}{8}$ $\Leftrightarrow 8x = 6\sqrt{3^{2}+x^{2}}$ $\Leftrightarrow 64x^{2} = 36(3^{2}+x^{2})$ $\Leftrightarrow 28x^{2} = 36 \times 9$ $\Leftrightarrow x^{2} = \frac{36 \times 9}{28}$ $\Leftrightarrow x = \frac{9}{\sqrt{7}}$ Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là: $t = f(\frac{9}{\sqrt{7}}) = \frac{\sqrt{3^{2}+(\frac{9}{\sqrt{7}})^{2}}}{6} + \frac{8-\frac{9}{\sqrt{7}}}{8} \approx 1,43$ (giờ) Đáp số: 1,43 giờ.