Giúp mình với!

Câu 20. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$: - Mặt phẳng $(\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (3, -2, 2)$. - Mặt phẳng $(\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (5, -4, 3)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: - Mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả $(\alpha)$ và $(\beta)$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ là tích vector của $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$. - Tích vector $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ được tính như sau: \[ \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(3) - (2)(-4)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(5)) + \vec{k}((3)(-4) - (-2)(5)) \] \[ = \vec{i}(-6 + 8) - \vec{j}(9 - 10) + \vec{k}(-12 + 10) \] \[ = \vec{i}(2) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-2) \] \[ = 2\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k} \] - Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là $\vec{n} = (2, 1, -2)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O: - Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 1, -2)$ có phương trình: \[ 2x + y - 2z = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả $(\alpha)$ và $(\beta)$ là: \[ 2x + y - 2z = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~2x + y - 2z = 0 \] Câu 21. Để tìm phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \(x - 3y + 2z - 5 = 0\). Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\vec{n}_P = (1, -3, 2)\). 2. Tìm vectơ AB: Điểm A(2, 4, 1) và điểm B(-1, 1, 3). \[ \vec{AB} = (-1 - 2, 1 - 4, 3 - 1) = (-3, -3, 2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của (Q) phải vuông góc với cả \(\vec{n}_P\) và \(\vec{AB}\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{AB} \] \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -3 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-3)(2) - (2)(-3)) - \vec{j}((1)(2) - (2)(-3)) + \vec{k}((1)(-3) - (-3)(-3)) \] \[ = \vec{i}(0) - \vec{j}(8) + \vec{k}(-12) \] \[ = (0, -8, -12) \] Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là \(\vec{n}_Q = (0, -8, -12)\). 4. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2, 4, 1) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (0, -8, -12)\). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \[ 0(x - 2) - 8(y - 4) - 12(z - 1) = 0 \] \[ -8y + 32 - 12z + 12 = 0 \] \[ -8y - 12z + 44 = 0 \] Chia cả phương trình cho -4 để đơn giản hóa: \[ 2y + 3z - 11 = 0 \] So sánh với dạng \(ax + by + cz - 11 = 0\), ta có \(a = 0\), \(b = 2\), \(c = 3\). 5. Tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5 \] Vậy khẳng định đúng là: \[ A.~a + b + c = 5 \] Câu 22. Để tìm phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của $(P)$ và $(Q)$: - Mặt phẳng $(P): x - 3y + 2z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (1, -3, 2)$. - Mặt phẳng $(Q): x - z + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (1, 0, -1)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$: - Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$, do đó vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là tích vector của $\vec{n}_P$ và $\vec{n}_Q$. \[ \vec{n}_\alpha = \vec{n}_P \times \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3) - \vec{j}(-3) + \vec{k}(3) = (3, 3, 3) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: - Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (3, 3, 3)$ và đi qua điểm $(3, 0, 0)$ (vì cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3). - Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: \[ 3(x - 3) + 3(y - 0) + 3(z - 0) = 0 \] \[ 3x - 9 + 3y + 3z = 0 \] \[ 3x + 3y + 3z - 9 = 0 \] Chia cả phương trình cho 3: \[ x + y + z - 3 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ A.~x + y + z - 3 = 0 \] Câu 23. Để tìm phương trình của mặt phẳng $(P): ax + by + cz - 9 = 0$ chứa hai điểm $A(3, 2, 1)$ và $B(-3, 5, 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 3x + y + z + 4 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ chứa hai điểm $A$ và $B$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 3, 5 - 2, 2 - 1) = (-6, 3, 1) \] Mặt phẳng $(P)$ cũng vuông góc với mặt phẳng $(Q)$, do đó vectơ pháp tuyến của $(P)$ phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của $(Q)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_Q = (3, 1, 1)$. Ta cần tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (a, b, c)$ của mặt phẳng $(P)$ sao cho nó vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\vec{n}_Q$. Điều này có nghĩa là: \[ \vec{n}_P \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \quad \text{và} \quad \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \] 2. Xây dựng hệ phương trình từ điều kiện vuông góc: \[ \begin{cases} a(-6) + b(3) + c(1) = 0 \\ a(3) + b(1) + c(1) = 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} -6a + 3b + c = 0 \\ 3a + b + c = 0 \end{cases} \] 3. Giải hệ phương trình: Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ c = -3a - b \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ -6a + 3b + (-3a - b) = 0 \] \[ -6a + 3b - 3a - b = 0 \] \[ -9a + 2b = 0 \] \[ 2b = 9a \] \[ b = \frac{9}{2}a \] Thay $b = \frac{9}{2}a$ vào $c = -3a - b$: \[ c = -3a - \frac{9}{2}a = -\frac{6a + 9a}{2} = -\frac{15a}{2} \] 4. Xác định các hệ số $a$, $b$, $c$: Chọn $a = 2$ để đơn giản hóa: \[ b = \frac{9}{2} \times 2 = 9 \] \[ c = -\frac{15}{2} \times 2 = -15 \] 5. Kiểm tra lại phương trình mặt phẳng $(P)$: Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ 2x + 9y - 15z - 9 = 0 \] Kiểm tra điểm $A(3, 2, 1)$: \[ 2(3) + 9(2) - 15(1) - 9 = 6 + 18 - 15 - 9 = 0 \] Kiểm tra điểm $B(-3, 5, 2)$: \[ 2(-3) + 9(5) - 15(2) - 9 = -6 + 45 - 30 - 9 = 0 \] 6. Tính tổng $S = a + b + c$: \[ S = 2 + 9 - 15 = -4 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~S = -4} \] Câu 24. Để tìm phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (1, 1, 3)$. - Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_R = (2, -1, 1)$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ là tích có hướng của $\vec{n}_Q$ và $\vec{n}_R$: \[ \vec{n}_P = \vec{n}_Q \times \vec{n}_R = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = \vec{i}(1 + 3) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 2) = 4\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_P = (4, 5, -3)$. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (4, 5, -3)$. - Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ 4(x - 2) + 5(y - 1) - 3(z + 3) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ 4x - 8 + 5y - 5 - 3z - 9 = 0 \] \[ 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ 4x + 5y - 3z - 22 = 0 \] Đáp án đúng là: D. \(4x + 5y - 3z - 22 = 0\). Câu 25. Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Mệnh đề A: $\overrightarrow{v} = -\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ Điều này đúng vì $\overrightarrow{v} = (-1, 2, 3)$ có thể được viết dưới dạng $\overrightarrow{v} = -1\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$. Mệnh đề B: $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$ Điều này đúng nếu tích vô hướng của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng 0. Tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (-2) \times (-1) + 0 \times 2 + 1 \times 3 = 2 + 0 + 3 = 5$. Vì 5 không bằng 0, nên $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{v}$. Mệnh đề C: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1, -2, 3)$ và vuông góc với giá của véctơ $\overrightarrow{\nu} = (-1, 2, 3)$ là: $x - 2y - 3z + 4 = 0$. Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vì mặt phẳng vuông góc với $\overrightarrow{\nu} = (-1, 2, 3)$, ta có: $-1(x - 1) + 2(y + 2) + 3(z - 3) = 0$ $-x + 1 + 2y + 4 + 3z - 9 = 0$ $-x + 2y + 3z - 4 = 0$ $x - 2y - 3z + 4 = 0$ Điều này đúng. Mệnh đề D: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1, -2, 3)$ và vuông góc với giá của véctơ $\overrightarrow{u} = (-2, 0, 1)$ là: $2x - y + 1 = 0$. Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vì mặt phẳng vuông góc với $\overrightarrow{u} = (-2, 0, 1)$, ta có: $-2(x - 1) + 0(y + 2) + 1(z - 3) = 0$ $-2x + 2 + z - 3 = 0$ $-2x + z - 1 = 0$ $2x - z + 1 = 0$ Điều này sai vì phương trình đúng phải là $2x - z + 1 = 0$, không phải $2x - y + 1 = 0$. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai. - Mệnh đề C đúng. - Mệnh đề D sai. Câu 26. Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, 7 - 1, 9 - 4) = (1, 6, 5)$ - $\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, 9 - 1, 13 - 4) = (-1, 8, 9)$ 2. Kiểm tra mệnh đề A: - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{i} + 6\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$ - Điều này đúng vì $\overrightarrow{AB} = (1, 6, 5)$. 3. Kiểm tra mệnh đề B: - Để kiểm tra $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$, chúng ta tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1, 6, 5) \cdot (-1, 8, 9) = 1 \cdot (-1) + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 9 = -1 + 48 + 45 = 92 \] - Vì tích vô hướng không bằng 0, nên $\overrightarrow{AB}$ không vuông góc với $\overrightarrow{AC}$. Do đó, mệnh đề B sai. 4. Kiểm tra mệnh đề C: - Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có dạng $ax + by + cz + d = 0$. - Ta có ba điểm A(1, 1, 4), B(2, 7, 9), C(0, 9, 13). - Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ a(1) + b(1) + c(4) + d = 0 \quad \text{(1)} \] \[ a(2) + b(7) + c(9) + d = 0 \quad \text{(2)} \] \[ a(0) + b(9) + c(13) + d = 0 \quad \text{(3)} \] - Giải hệ phương trình này để tìm $a$, $b$, $c$, và $d$: \[ a + b + 4c + d = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 2a + 7b + 9c + d = 0 \quad \text{(2)} \] \[ 9b + 13c + d = 0 \quad \text{(3)} \] - Từ (1) và (3): \[ a + b + 4c + d = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 9b + 13c + d = 0 \quad \text{(3)} \] - Từ (2) và (3): \[ 2a + 7b + 9c + d = 0 \quad \text{(2)} \] \[ 9b + 13c + d = 0 \quad \text{(3)} \] - Ta thấy rằng phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là $x - y + z - 4 = 0$. Do đó, mệnh đề C đúng. Kết luận: - Mệnh đề A đúng. - Mệnh đề B sai. - Mệnh đề C đúng.