s.o.sssssssss Câu 12. (Trường chuyên Hà Nội chuyên tin năm 2023-2024),e 1) Cho P là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh số $A=2^{p^2+2}-8$ chia hết cho 21.,2) Tìm tất cả các số nguyên x và y thoả mãn $x^3-y^3=2(x-y)^2+17$

Question

ALIDAhg1 · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=\frac{x^{2}}{x+y} +\frac{y^{2}}{y+z} +\frac{z^{2}}{z+x}\
B=\frac{y^{2}}{x+y} +\frac{z^{2}}{y+z} +\frac{x^{2}}{z+x}
\end{array}$
để $\displaystyle A=B$ khi :
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A-B=0\ \
\frac{x^{2}}{x+y} +\frac{y^{2}}{y+z} +\frac{z^{2}}{z+x} -\left(\frac{y^{2}}{x+y} +\frac{z^{2}}{y+z} +\frac{x^{2}}{z+x} ight)\
=\frac{x^{2} -y^{2}}{x+y} +\frac{y^{2} -z^{2}}{y+z} +\frac{z^{2} -x^{2}}{z+x}\
=\frac{( x-y) .( x+y)}{x+y} +\frac{( y-z) .( y+z)}{y+z} +\frac{( z-x) .( z+x)}{z+x}\
=x-y+y-z+z-x\
=0\
\end{array}$
vậy $\displaystyle A=B\ $

Timi · Answer

Câu 12.
1) Ta có $A = 2^{p^2 + 2} - 8 = 2^2 	imes (2^{p^2} - 1)$

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ.

Suy ra $p^2$ cũng lẻ.

Ta có $2^{p^2} - 1 = (2 - 1)(2^{p^2 - 1} + 2^{p^2 - 2} + ... + 2 + 1)$

Mà $2^{p^2 - 1} + 2^{p^2 - 2} + ... + 2 + 1$ là tổng của số lẻ các số chẵn và lẻ nên chẵn.

Suy ra $2^{p^2} - 1$ chẵn.

Do đó $2^{p^2 + 2} - 8$ chia hết cho 4.

Ta lại có $2^{p^2 + 2} - 8 = 2^2 	imes (2^{p^2} - 1) = 4 	imes (2 - 1)(2 + 1)(2^{p^2 - 2} + 2^{p^2 - 4} + ... + 2^2 + 1)$

$= 4 	imes 3 	imes (2^{p^2 - 2} + 2^{p^2 - 4} + ... + 2^2 + 1)$

Mà $2^{p^2 - 2} + 2^{p^2 - 4} + ... + 2^2 + 1$ là tổng của số lẻ các số chẵn và lẻ nên chẵn.

Suy ra $2^{p^2 + 2} - 8$ chia hết cho 12.

Từ đó suy ra $2^{p^2 + 2} - 8$ chia hết cho 21.

2) Ta có $x^3 - y^3 = 2(x - y)^2 + 17$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 2(x - y)^2 + 17$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 2(x - y)) = 17$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 2x + 2y) = 17$

$(x - y)((x + y)^2 - (x - y) - 2(x - y)) = 17$

$(x - y)((x + y)^2 - 3(x - y)) = 17$

Vì 17 là số nguyên tố nên $(x - y) = 1$ và $(x + y)^2 - 3(x - y) = 17$

Suy ra $(x + y)^2 = 20$ (loại)

Vậy không có cặp số nguyên nào thỏa mãn.