Zmzksoshff

Câu 16. Để xét tính bị tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = n - \sqrt{n^2 - 1}$, ta sẽ so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$. Bước 1: Tính $u_{n+1}$. \[ u_{n+1} = (n+1) - \sqrt{(n+1)^2 - 1} \] \[ = (n+1) - \sqrt{n^2 + 2n + 1 - 1} \] \[ = (n+1) - \sqrt{n^2 + 2n} \] Bước 2: So sánh $u_{n+1}$ với $u_n$. \[ u_{n+1} - u_n = [(n+1) - \sqrt{n^2 + 2n}] - [n - \sqrt{n^2 - 1}] \] \[ = (n+1) - \sqrt{n^2 + 2n} - n + \sqrt{n^2 - 1} \] \[ = 1 - \sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 1} \] Bước 3: Xét hiệu này. Ta cần xét dấu của biểu thức $1 - \sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 1}$. Nhận thấy rằng $\sqrt{n^2 + 2n} > \sqrt{n^2 - 1}$ vì $n^2 + 2n > n^2 - 1$. Do đó, ta có: \[ 1 - \sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 1} < 0 \] Vậy $u_{n+1} - u_n < 0$, suy ra $u_{n+1} < u_n$. Kết luận: Dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.