giúp ạ bbb

Câu 17. Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta cần kiểm tra xem chúng có cắt nhau hay song song. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng - Đường thẳng \(d_1\) có phương trình \(\frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-2}\). Vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{u}_1 = (2, 1, -2)\). - Đường thẳng \(d_2\) có phương trình \(\frac{x+2}{-2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z}{2}\). Vectơ chỉ phương của \(d_2\) là \(\vec{u}_2 = (-2, -1, 2)\). Bước 2: Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không Ta thấy rằng \(\vec{u}_2 = -1 \cdot \vec{u}_1\). Điều này có nghĩa là hai vectơ chỉ phương là đối nhau, do đó hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song hoặc trùng nhau. Bước 3: Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau hay không Để kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau hay không, ta cần kiểm tra xem điểm trên một đường thẳng có thuộc đường thẳng kia hay không. Lấy điểm \(A(1, 0, -2)\) thuộc \(d_1\). Ta thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình của \(d_2\) để kiểm tra: Phương trình tham số của \(d_2\) là: \[ x = -2 + t(-2) \] \[ y = 1 + t(-1) \] \[ z = t(2) \] Thay \(x = 1\), \(y = 0\), \(z = -2\) vào phương trình của \(d_2\): \[ 1 = -2 - 2t \] \[ 0 = 1 - t \] \[ -2 = 2t \] Giải hệ phương trình này: \[ 1 = -2 - 2t \Rightarrow 3 = -2t \Rightarrow t = -\frac{3}{2} \] \[ 0 = 1 - t \Rightarrow t = 1 \] \[ -2 = 2t \Rightarrow t = -1 \] Nhìn thấy rằng các giá trị của \(t\) không đồng nhất (\(t = -\frac{3}{2}\), \(t = 1\), \(t = -1\)), do đó điểm \(A\) không thuộc \(d_2\). Vậy hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song nhưng không trùng nhau. Kết luận Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song. Câu 18. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần kiểm tra xem chúng có cắt nhau hay song song với nhau. 1. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{3} \] Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (2, 2, 3)$. - Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình: \[ \frac{x-3}{-1} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z+2}{1} \] Vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (-1, -2, 1)$. 2. Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không: Ta kiểm tra xem có tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{u}_1 = k \cdot \vec{u}_2$ hay không. \[ (2, 2, 3) = k \cdot (-1, -2, 1) \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ 2 = -k \\ 2 = -2k \\ 3 = k \] Từ phương trình đầu tiên, ta có $k = -2$. Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2 = -2(-2) = 4 \quad (\text{sai}) \] Do đó, hai vectơ chỉ phương không cùng phương, suy ra hai đường thẳng không song song. 3. Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không: Ta tìm điểm chung của hai đường thẳng bằng cách đặt tọa độ của điểm chung $(x, y, z)$ thỏa mãn cả hai phương trình đường thẳng. Đường thẳng $\Delta_1$ có dạng tham số: \[ x = 1 + 2t, \quad y = -1 + 2t, \quad z = 3t \] Đường thẳng $\Delta_2$ có dạng tham số: \[ x = 3 - s, \quad y = 3 - 2s, \quad z = -2 + s \] Để hai đường thẳng cắt nhau, ta phải có: \[ 1 + 2t = 3 - s \\ -1 + 2t = 3 - 2s \\ 3t = -2 + s \] Ta giải hệ phương trình này: \[ 1 + 2t = 3 - s \implies s = 2 - 2t \\ -1 + 2t = 3 - 2s \implies -1 + 2t = 3 - 2(2 - 2t) \implies -1 + 2t = 3 - 4 + 4t \implies -1 + 2t = -1 + 4t \implies 0 = 2t \implies t = 0 \] Thay $t = 0$ vào phương trình $s = 2 - 2t$: \[ s = 2 - 2(0) = 2 \] Kiểm tra lại phương trình cuối cùng: \[ 3t = -2 + s \implies 3(0) = -2 + 2 \implies 0 = 0 \quad (\text{đúng}) \] Vậy $t = 0$ và $s = 2$ thỏa mãn tất cả các phương trình, suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(1, -1, 0)$. Kết luận: Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại điểm $(1, -1, 0)$.