những bài toán thực tế về hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài toán thực tế về hàm số bậc hai Ví dụ: Một cửa hàng bán một loại hàng hóa với giá bán lẻ là 100.000 đồng mỗi sản phẩm. Mỗi sản phẩm có chi phí sản xuất là 60.000 đồng. Số lượng sản phẩm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán lẻ theo công thức: \( Q = 100 - 0.5P \), trong đó \( P \) là giá bán lẻ và \( Q \) là số lượng sản phẩm bán được. Hãy tìm giá bán lẻ tối ưu để lợi nhuận của cửa hàng đạt mức cao nhất trong một ngày. Bước 1: Xác định doanh thu và chi phí. Doanh thu \( R \) từ việc bán \( Q \) sản phẩm với giá \( P \) là: \[ R = P \times Q = P \times (100 - 0.5P) = 100P - 0.5P^2 \] Chi phí \( C \) để sản xuất \( Q \) sản phẩm là: \[ C = 60000 \times Q = 60000 \times (100 - 0.5P) = 6000000 - 30000P \] Bước 2: Xác định lợi nhuận. Lợi nhuận \( L \) là hiệu giữa doanh thu và chi phí: \[ L = R - C = (100P - 0.5P^2) - (6000000 - 30000P) = -0.5P^2 + 130000P - 6000000 \] Bước 3: Tìm giá bán lẻ tối ưu. Để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm đỉnh của parabol \( L = -0.5P^2 + 130000P - 6000000 \). Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong trường hợp này: \[ a = -0.5, \quad b = 130000 \] \[ P_{opt} = -\frac{130000}{2 \times (-0.5)} = \frac{130000}{1} = 130000 \] Kết luận: Giá bán lẻ tối ưu để lợi nhuận của cửa hàng đạt mức cao nhất trong một ngày là 130.000 đồng. Đồ thị hàm số bậc hai Ví dụ: Vẽ đồ thị của hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \). Bước 1: Xác định các đặc điểm của hàm số. - Hệ số \( a = 1 > 0 \), nên đồ thị là parabol mở lên. - Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Trong trường hợp này: \[ a = 1, \quad b = -4, \quad c = 3 \] \[ x_{đỉnh} = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 \] \[ y_{đỉnh} = f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] Đỉnh của parabol là \( (2, -1) \). Bước 2: Xác định các giao điểm với trục hoành. Giao điểm với trục hoành là các nghiệm của phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). Giải phương trình: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Giao điểm với trục hoành là \( (1, 0) \) và \( (3, 0) \). Bước 3: Xác định giao điểm với trục tung. Giao điểm với trục tung là \( (0, f(0)) \): \[ f(0) = 0^2 - 4 \times 0 + 3 = 3 \] Giao điểm với trục tung là \( (0, 3) \). Bước 4: Vẽ đồ thị. - Đỉnh của parabol là \( (2, -1) \). - Giao điểm với trục hoành là \( (1, 0) \) và \( (3, 0) \). - Giao điểm với trục tung là \( (0, 3) \). Bất phương trình bậc hai một ẩn Ví dụ: Giải bất phương trình \( x^2 - 4x + 3 < 0 \). Bước 1: Xác định các nghiệm của phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Bước 2: Xác định dấu của biểu thức \( x^2 - 4x + 3 \) trên các khoảng. - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \), ta có \( 0^2 - 4 \times 0 + 3 = 3 > 0 \). - Trên khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \), ta có \( 2^2 - 4 \times 2 + 3 = -1 < 0 \). - Trên khoảng \( (3, +\infty) \): Chọn \( x = 4 \), ta có \( 4^2 - 4 \times 4 + 3 = 3 > 0 \). Bước 3: Kết luận. Biểu thức \( x^2 - 4x + 3 < 0 \) đúng trên khoảng \( (1, 3) \). Kết luận: Nghiệm của bất phương trình \( x^2 - 4x + 3 < 0 \) là \( 1 < x < 3 \).