Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD). Biết AB = a, AD = a√2 và khoảng cách từ điểm A A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√6 3 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (b) Tính côsi...

a) Ta có: ${V}_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.{S}_{ABCD}$ Diện tích đáy ABCD là: ${S}_{ABCD}=AB.AD=a.a\sqrt{2}={a}^{2}\sqrt{2}$ Diện tích tam giác SBC là: ${S}_{SBC}=\frac{1}{2}.BC.S{A}_{1}$ Mà khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{6}}{3}$ nên ${V}_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.{S}_{SBC}.A$ Suy ra: $\frac{1}{3}.SA.{a}^{2}\sqrt{2}=\frac{1}{3}.(\frac{1}{2}.a.S{A}_{1}).a$ Từ đó ta có: $SA=\frac{1}{2}S{A}_{1}$ Thể tích khối chóp S.ABCD là: ${V}_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.{S}_{ABCD}=\frac{1}{3}.SA.{a}^{2}\sqrt{2}=\frac{1}{3}.(\frac{1}{2}S{A}_{1}).{a}^{2}\sqrt{2}=\frac{1}{3}.(\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}).{a}^{2}\sqrt{2}=\frac{{a}^{3}}{9}$ Đáp số: $\frac{{a}^{3}}{9}$ b) Gọi O là trung điểm của BC, ta có: SO (BC) Mà (BSC) (BCD) = BC nên SO là đường cao hạ từ S trong tam giác SBD hạ xuống mặt phẳng (BCD). Gọi H là chân đường cao hạ từ O trong tam giác OCD hạ xuống cạnh CD. Ta có: SO (BCD) nên SO (OH). Mặt khác OH (CD) nên OH (SBD). Vậy góc giữa SO và OH là góc giữa hai mặt phẳng (BSC) và (BCD). Trong tam giác OCD vuông tại O, ta có: $OH=\frac{OC.OA}{CD}=\frac{\frac{a}{2}.a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ Trong tam giác SOH vuông tại H, ta có: $\mathrm{cos}\angle SHO=\frac{OH}{SO}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}=\frac{1}{2}$ Vậy cos của góc giữa hai mặt phẳng (BSC) và (BCD) là $\frac{1}{2}$.