cho tam giác ABC có A = 7;3;3 b = 1;2;4 C = 2;3;5 A Tìm tọa độ điểm h và chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC b Tính độ dài AB = AC c Tính góc A

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a: Tìm tọa độ điểm H và chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC - Điểm \(A\) có tọa độ \((7, 3, 3)\) - Điểm \(B\) có tọa độ \((1, 2, 4)\) - Điểm \(C\) có tọa độ \((2, 3, 5)\) Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng \(BC\) Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) là: \[ \begin{cases} x = 1 + t(2 - 1) = 1 + t \\ y = 2 + t(3 - 2) = 2 + t \\ z = 4 + t(5 - 4) = 4 + t \end{cases} \] Bước 3: Tìm phương trình mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(BC\) Phương pháp tìm phương trình mặt phẳng qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\): - Vector pháp tuyến của mặt phẳng là vector chỉ phương của đường thẳng \(BC\): \(\vec{n} = (1, 1, 1)\) - Phương trình mặt phẳng qua \(A(7, 3, 3)\) và vuông góc với \(\vec{n}\) là: \[ 1(x - 7) + 1(y - 3) + 1(z - 3) = 0 \] \[ x + y + z - 13 = 0 \] Bước 4: Tìm giao điểm của đường thẳng \(BC\) với mặt phẳng trên Thay phương trình tham số của \(BC\) vào phương trình mặt phẳng: \[ (1 + t) + (2 + t) + (4 + t) - 13 = 0 \] \[ 7 + 3t - 13 = 0 \] \[ 3t = 6 \] \[ t = 2 \] Thay \(t = 2\) vào phương trình tham số của \(BC\): \[ x = 1 + 2 = 3 \] \[ y = 2 + 2 = 4 \] \[ z = 4 + 2 = 6 \] Vậy tọa độ của điểm \(H\) là \((3, 4, 6)\). Phần b: Tính độ dài \(AB\) và \(AC\) Độ dài \(AB\) \[ AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (3 - 2)^2 + (3 - 4)^2} \] \[ = \sqrt{6^2 + 1^2 + (-1)^2} \] \[ = \sqrt{36 + 1 + 1} \] \[ = \sqrt{38} \] Độ dài \(AC\) \[ AC = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (3 - 5)^2} \] \[ = \sqrt{5^2 + 0^2 + (-2)^2} \] \[ = \sqrt{25 + 0 + 4} \] \[ = \sqrt{29} \] Phần c: Tính góc \(A\) Vector \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 7, 2 - 3, 4 - 3) = (-6, -1, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (2 - 7, 3 - 3, 5 - 3) = (-5, 0, 2) \] Tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-6)(-5) + (-1)(0) + (1)(2) \] \[ = 30 + 0 + 2 \] \[ = 32 \] Độ dài \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1 + 1} = \sqrt{38} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 0 + 4} = \sqrt{29} \] Góc \(A\) \[ \cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} \] \[ = \frac{32}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{29}} \] \[ = \frac{32}{\sqrt{1102}} \] Vậy góc \(A\) là: \[ A = \arccos \left( \frac{32}{\sqrt{1102}} \right) \] Kết luận - Tọa độ điểm \(H\) là \((3, 4, 6)\). - Độ dài \(AB = \sqrt{38}\). - Độ dài \(AC = \sqrt{29}\). - Góc \(A = \arccos \left( \frac{32}{\sqrt{1102}} \right)\).