Chfjjgj gj gjf

Câu 1. Để tìm số hạng \( u_2 \) của dãy số \( (u_n) \) được xác định bởi \( u_1 = 3 \) và \( u_{n+1} = 3u_n - 1 \) với \( n \geq 1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên \( u_1 \): \[ u_1 = 3 \] Bước 2: Sử dụng công thức \( u_{n+1} = 3u_n - 1 \) để tính \( u_2 \): \[ u_2 = 3u_1 - 1 \] \[ u_2 = 3 \times 3 - 1 \] \[ u_2 = 9 - 1 \] \[ u_2 = 8 \] Vậy số hạng \( u_2 \) bằng 8. Đáp án đúng là: C. 8. Câu 2. Để rút gọn biểu thức \( M = \cos x \cos(x - y) + \sin x \sin(x - y) \), chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích của lượng giác. Công thức biến đổi tổng thành tích cho phép ta viết lại biểu thức dưới dạng: \[ \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B) \] Áp dụng công thức này vào biểu thức \( M \): \[ M = \cos x \cos(x - y) + \sin x \sin(x - y) \] \[ M = \cos(x - (x - y)) \] \[ M = \cos(y) \] Vậy, biểu thức \( M \) được rút gọn thành \( \cos(y) \). Do đó, đáp án đúng là: B. \( M = \cos y \) Đáp số: B. \( M = \cos y \) Câu 3. Để xác định khẳng định nào là sai, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất chẵn và lẻ của các hàm số đã cho. 1. Hàm số \( y = \sin x \): - Ta có: \( \sin(-x) = -\sin(x) \) - Do đó, hàm số \( y = \sin x \) là hàm số lẻ, không phải là hàm số chẵn. - Khẳng định A là sai. 2. Hàm số \( y = \cos x \): - Ta có: \( \cos(-x) = \cos(x) \) - Do đó, hàm số \( y = \cos x \) là hàm số chẵn. - Khẳng định B là đúng. 3. Hàm số \( y = \tan x \): - Ta có: \( \tan(-x) = -\tan(x) \) - Do đó, hàm số \( y = \tan x \) là hàm số lẻ. - Khẳng định C là đúng. 4. Hàm số \( y = \cot x \): - Ta có: \( \cot(-x) = -\cot(x) \) - Do đó, hàm số \( y = \cot x \) là hàm số lẻ. - Khẳng định D là đúng. Tóm lại, khẳng định sai là: A. Hàm số \( y = \sin x \) là hàm số chẵn. Đáp án: A. Câu 4. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = \cos x \), ta cần dựa vào đồ thị của hàm số này. Hàm số \( y = \cos x \) có tính chất tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \). Trên mỗi chu kỳ, hàm số \( y = \cos x \) đạt cực đại tại \( x = 0 + 2k\pi \) và cực tiểu tại \( x = \pi + 2k\pi \), trong đó \( k \) là số nguyên. Trên đoạn \( [0, 2\pi] \): - Hàm số \( y = \cos x \) giảm từ \( x = 0 \) đến \( x = \pi \). - Hàm số \( y = \cos x \) tăng từ \( x = \pi \) đến \( x = 2\pi \). Do đó, hàm số \( y = \cos x \) đồng biến trên khoảng \( (\pi, 2\pi) \). Vậy đáp án đúng là: C. \( (\pi, 2\pi) \) Đáp số: C. \( (\pi, 2\pi) \) Câu 5. Phương trình $\tan x = -1$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\tan x = -1$. Ta biết rằng $\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$, do đó các nghiệm của phương trình này sẽ có dạng: \[ x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}. \] Vậy tập nghiệm của phương trình $\tan x = -1$ là: \[ \left\{-\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}. \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\left\{-\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$. Câu 6. Để xác định phương trình nào trong các phương trình đã cho là vô nghiệm, ta cần kiểm tra xem giá trị của hàm cos(2x) có nằm trong khoảng [-1, 1] hay không. Nếu giá trị của hàm cos(2x) nằm ngoài khoảng này, phương trình đó sẽ là vô nghiệm. A. $\cos 2x = 0$ - Giá trị của $\cos 2x$ có thể là 0, vì 0 nằm trong khoảng [-1, 1]. Do đó, phương trình này có nghiệm. B. $\cos 2x = -\frac{2}{3}$ - Giá trị của $\cos 2x$ có thể là $-\frac{2}{3}$, vì $-\frac{2}{3}$ nằm trong khoảng [-1, 1]. Do đó, phương trình này có nghiệm. C. $\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ - Giá trị của $\cos 2x$ có thể là $-\frac{\sqrt{3}}{4}$, vì $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ nằm trong khoảng [-1, 1]. Do đó, phương trình này có nghiệm. D. $\cos 2x = \frac{\sqrt{5}}{2}$ - Giá trị của $\cos 2x$ không thể là $\frac{\sqrt{5}}{2}$, vì $\frac{\sqrt{5}}{2}$ lớn hơn 1 và nằm ngoài khoảng [-1, 1]. Do đó, phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm là: D. $\cos 2x = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Câu 7. Ta biết rằng trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, góc $\alpha$ nằm trong tam giác vuông ở góc thứ hai, nơi mà $\sin \alpha$ dương và $\cos \alpha$ âm. Biết rằng $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, ta có thể sử dụng công thức Pythagoras để tìm $\cos \alpha$. Theo định lý Pythagoras, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ vào công thức trên: \[ \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{9}{25} \] Do đó: \[ \cos \alpha = \pm \frac{3}{5} \] Vì $\alpha$ nằm trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\cos \alpha$ phải là số âm. Vậy: \[ \cos \alpha = -\frac{3}{5} \] Đáp án đúng là: A. $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ Câu 8: Để xác định xem một dãy số có phải là dãy số tăng hay không, ta cần kiểm tra xem mỗi số hạng tiếp theo trong dãy có lớn hơn số hạng trước nó hay không. Cụ thể, nếu \(a_{n+1} > a_n\) cho mọi \(n\), thì dãy số đó là dãy số tăng. Ta sẽ xét từng dãy số một: 1. Dãy số \(a_n = n^2\): - Số hạng thứ \(n\) là \(a_n = n^2\). - Số hạng thứ \(n+1\) là \(a_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1\). - Ta thấy rằng \(a_{n+1} - a_n = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1 > 0\) cho mọi \(n \geq 1\). - Vậy dãy số \(a_n = n^2\) là dãy số tăng. 2. Dãy số \(b_n = \frac{1}{n}\): - Số hạng thứ \(n\) là \(b_n = \frac{1}{n}\). - Số hạng thứ \(n+1\) là \(b_{n+1} = \frac{1}{n+1}\). - Ta thấy rằng \(b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0\) cho mọi \(n \geq 1\). - Vậy dãy số \(b_n = \frac{1}{n}\) là dãy số giảm. 3. Dãy số \(c_n = (-1)^n\): - Số hạng thứ \(n\) là \(c_n = (-1)^n\). - Số hạng thứ \(n+1\) là \(c_{n+1} = (-1)^{n+1}\). - Ta thấy rằng \(c_{n+1} - c_n = (-1)^{n+1} - (-1)^n\). - Nếu \(n\) chẵn thì \(c_n = 1\) và \(c_{n+1} = -1\), vậy \(c_{n+1} - c_n = -1 - 1 = -2 < 0\). - Nếu \(n\) lẻ thì \(c_n = -1\) và \(c_{n+1} = 1\), vậy \(c_{n+1} - c_n = 1 - (-1) = 2 > 0\). - Vậy dãy số \(c_n = (-1)^n\) không phải là dãy số tăng vì các số hạng thay đổi giữa tăng và giảm. 4. Dãy số \(d_n = 2^n\): - Số hạng thứ \(n\) là \(d_n = 2^n\). - Số hạng thứ \(n+1\) là \(d_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n\). - Ta thấy rằng \(d_{n+1} - d_n = 2 \cdot 2^n - 2^n = 2^n > 0\) cho mọi \(n \geq 1\). - Vậy dãy số \(d_n = 2^n\) là dãy số tăng. Tóm lại, các dãy số tăng là: - \(a_n = n^2\) - \(d_n = 2^n\)