Hdjdjdhdjdh

Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định xem mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng nào trong các lựa chọn đã cho. a) \( A'B' // (MNP) \) - \( A'B' \) là đường thẳng nằm trong đáy trên của lăng trụ \( A'B'C'D' \). - \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \) và \( BC \) tương ứng, do đó \( MN \) song song với \( AB \) (vì \( AD \) và \( BC \) là các cạnh đối của hình bình hành đáy dưới). - \( P \) là trung điểm của \( CC' \), do đó \( MP \) và \( NP \) cũng sẽ song song với các đường thẳng tương ứng trong đáy trên. Tuy nhiên, \( A'B' \) không chắc chắn song song với \( MN \) hoặc \( MP \) hoặc \( NP \), vì \( A'B' \) nằm trong đáy trên còn \( MN \) và \( MP \) nằm trong đáy dưới và các đường chéo của lăng trụ. Do đó, không thể khẳng định \( A'B' // (MNP) \). b) \( (MNP) // (BC'D') \) - \( BC' \) là đường thẳng nối \( B \) và \( C' \), và \( D' \) là đỉnh của đáy trên. - \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \) và \( BC \) tương ứng, do đó \( MN \) song song với \( AB \). - \( P \) là trung điểm của \( CC' \), do đó \( MP \) và \( NP \) cũng sẽ song song với các đường thẳng tương ứng trong đáy trên. Do đó, \( (MNP) \) có thể song song với \( (BC'D') \) vì các đường thẳng trong \( (MNP) \) đều song song với các đường thẳng tương ứng trong \( (BC'D') \). c) \( (MNP) // (B'C'D') \) - \( B'C' \) là đường thẳng nối \( B' \) và \( C' \), và \( D' \) là đỉnh của đáy trên. - \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \) và \( BC \) tương ứng, do đó \( MN \) song song với \( AB \). - \( P \) là trung điểm của \( CC' \), do đó \( MP \) và \( NP \) cũng sẽ song song với các đường thẳng tương ứng trong đáy trên. Do đó, \( (MNP) \) có thể song song với \( (B'C'D') \) vì các đường thẳng trong \( (MNP) \) đều song song với các đường thẳng tương ứng trong \( (B'C'D') \). d) \( DD' \) cắt \( (MNP) \) - \( DD' \) là đường thẳng nối \( D \) và \( D' \), và \( D' \) là đỉnh của đáy trên. - \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AD \) và \( BC \) tương ứng, do đó \( MN \) song song với \( AB \). - \( P \) là trung điểm của \( CC' \), do đó \( MP \) và \( NP \) cũng sẽ song song với các đường thẳng tương ứng trong đáy trên. \( DD' \) không chắc chắn cắt \( (MNP) \) vì \( DD' \) là đường thẳng đứng từ đáy dưới lên đáy trên, trong khi \( (MNP) \) là mặt phẳng nằm giữa hai đáy. Kết luận: Câu trả lời đúng là: b) \( (MNP) // (BC'D') \) c) \( (MNP) // (B'C'D') \) Vậy đáp án là b) và c). Câu 4. Trước tiên, ta cần tìm công bội \( q \) và số hạng đầu \( u_1 \) của cấp số nhân \( (u_n) \). Ta có: \[ u_4 = u_1 \cdot q^3 = \frac{2}{27} \] \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 = 243 \cdot u_8 \] Biết rằng \( u_8 = u_1 \cdot q^7 \), thay vào ta có: \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 = 243 \cdot u_1 \cdot q^7 \] Từ đây, ta có: \[ q^2 = 243 \cdot q^7 \] \[ 1 = 243 \cdot q^5 \] \[ q^5 = \frac{1}{243} \] \[ q = \frac{1}{3} \] Bây giờ, ta thay \( q = \frac{1}{3} \) vào \( u_4 \): \[ u_1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{2}{27} \] \[ u_1 \cdot \frac{1}{27} = \frac{2}{27} \] \[ u_1 = 2 \] Vậy, số hạng đầu \( u_1 = 2 \) và công bội \( q = \frac{1}{3} \). a) Số hạng thứ 3 của dãy là: \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 = 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} \] b) Số hạng thứ 5 của dãy là: \[ u_5 = u_1 \cdot q^4 = 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^4 = 2 \cdot \frac{1}{81} = \frac{2}{81} \] c) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân là: \[ S_{10} = u_1 \cdot \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 2 \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{10}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{1 - \frac{1}{59049}}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{59048}{59049} \cdot \frac{3}{2} = \frac{59048}{19683} \] d) Số \(\frac{2}{6561}\) là số hạng thứ 8 của cấp số nhân: \[ u_8 = u_1 \cdot q^7 = 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^7 = 2 \cdot \frac{1}{2187} = \frac{2}{2187} \neq \frac{2}{6561} \] Vậy, đáp án đúng là: a) Số hạng thứ 3 của dãy là \(\frac{2}{9}\) b) Số hạng thứ 5 của dãy là \(\frac{2}{81}\) c) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số là \(\frac{59048}{19683}\) d) Số \(\frac{2}{6561}\) không phải là số hạng thứ 8 của cấp số nhân. Câu 5. a) Giá trị đại diện của nhóm [140;145) là 142,5 cm (vì giá trị đại diện của nhóm là trung điểm của khoảng đó). Do đó, phát biểu này sai. b) Số học sinh có chiều cao thấp hơn 150 cm là 4 + 12 = 16 học sinh. Do đó, phát biểu này sai. c) Ta tính tổng chiều cao của tất cả học sinh: \begin{align} &4 \times 142,5 + 12 \times 147,5 + 16 \times 152,5 + 15 \times 157,5 + 5 \times 162,5 + 3 \times 167,5 \\ &= 570 + 1770 + 2440 + 2362,5 + 812,5 + 502,5 \\ &= 8460 \text{ cm} \end{align} Chiều cao trung bình của học sinh là: \begin{align} \frac{8460}{55} &\approx 153,82 \text{ cm} \end{align} Do đó, phát biểu này sai vì chiều cao trung bình là 153,82 cm, không phải 153,77 cm. d) Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm [150;155) với tần số là 16. Giá trị đại diện của nhóm này là 152,5 cm. Do đó, mốt của mẫu số liệu là 152,5 cm. Phát biểu này sai vì mốt là 152,5 cm, không phải 154 cm. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính các giới hạn theo yêu cầu. Phần a) Tính $\lim_{Q \to 0^+} f(Q)$ Ta có: \[ f(Q) = \begin{cases} Q + 2 & \text{ khi } 0 < Q \leq 3 \\ \frac{Q^2 - 2Q - 3}{Q - 3} & \text{ khi } Q > 3 \end{cases} \] Khi $Q \to 0^+$, ta chỉ quan tâm đến phần đầu tiên của hàm số vì $0 < Q \leq 3$. Do đó: \[ f(Q) = Q + 2 \] Tính giới hạn: \[ \lim_{Q \to 0^+} f(Q) = \lim_{Q \to 0^+} (Q + 2) = 0 + 2 = 2 \] Vậy $\lim_{Q \to 0^+} f(Q) = 2$. Điều này chứng tỏ rằng giới hạn tồn tại và bằng 2. Phần b) Tính $\lim_{Q \to 3^-} f(Q)$ Khi $Q \to 3^-$, ta cũng chỉ quan tâm đến phần đầu tiên của hàm số vì $0 < Q \leq 3$. Do đó: \[ f(Q) = Q + 2 \] Tính giới hạn: \[ \lim_{Q \to 3^-} f(Q) = \lim_{Q \to 3^-} (Q + 2) = 3 + 2 = 5 \] Vậy $\lim_{Q \to 3^-} f(Q) = 5$. Điều này chứng tỏ rằng giới hạn tồn tại và bằng 5. Kết luận: - $\lim_{Q \to 0^+} f(Q) = 2$ - $\lim_{Q \to 3^-} f(Q) = 5$ Như vậy, cả hai giới hạn đều tồn tại và có giá trị như trên.