cho các số thực a,b,c khác 0 thỏa mãn:a^2(b+c-a)=b^2(c+a-b)=c^2(a+b-c).CMR a=b=c
Giải chi tiết giúp e với ạ!

Question

Timi · Accepted Answer

Gọi $a^2(b+c-a) = b^2(c+a-b) = c^2(a+b-c) = k$

Ta có:

$a^2(b+c-a) = k \Rightarrow a^2(b+c) - a^3 = k \Rightarrow a^2(b+c) = a^3 + k$

Tương tự:

$b^2(c+a) = b^3 + k$

$c^2(a+b) = c^3 + k$

Nhân vế theo vế ta có:

$$a^2(b+c) \cdot b^2(c+a) \cdot c^2(a+b) = (a^3 + k)(b^3 + k)(c^3 + k)$$

$$a^2b^2c^2[(b+c)(c+a)(a+b)] = (a^3 + k)(b^3 + k)(c^3 + k)$$

Do đó:

$$(a^3 + k)(b^3 + k)(c^3 + k) = a^2b^2c^2[(b+c)(c+a)(a+b)]$$

Xét trường hợp $a = b = c$:

$(a^3 + k)(a^3 + k)(a^3 + k) = a^2a^2a^2[(a+a)(a+a)(a+a)]$

$(a^3 + k)^3 = a^6 \cdot 8a^3$

$(a^3 + k)^3 = 8a^9$

$(a^3 + k) = 2a^3$

$k = a^3$

Vậy $a = b = c$ thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Do đó, ta đã chứng minh được $a = b = c$.

Chán_Chả_Muốn_Nói · Answer

Gọi $a^2(b+c-a) = b^2(c+a-b) = c^2(a+b-c) = k$

Ta có:

$a^2(b+c-a) = k \Rightarrow a^2(b+c) - a^3 = k \Rightarrow a^2(b+c) = a^3 + k$

Tương tự:

$b^2(c+a) = b^3 + k$

$c^2(a+b) = c^3 + k$

Nhân vế theo vế ta có:

$$a^2(b+c) \cdot b^2(c+a) \cdot c^2(a+b) = (a^3 + k)(b^3 + k)(c^3 + k)$$

$$a^2b^2c^2[(b+c)(c+a)(a+b)] = (a^3 + k)(b^3 + k)(c^3 + k)$$

Do đó:

$$(a^3 + k)(b^3 + k)(c^3 + k) = a^2b^2c^2[(b+c)(c+a)(a+b)]$$

Xét trường hợp $a = b = c$:

$(a^3 + k)(a^3 + k)(a^3 + k) = a^2a^2a^2[(a+a)(a+a)(a+a)]$

$(a^3 + k)^3 = a^6 \cdot 8a^3$

$(a^3 + k)^3 = 8a^9$

$(a^3 + k) = 2a^3$

$k = a^3$

Vậy $a = b = c$ thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Do đó, ta đã chứng minh được $a = b = c$.

pjio · Answer

Gọi $a^2(b+c-a) = b^2(c+a-b) = c^2(a+b-c) = k$

Ta có:

Nga Lê · Answer

{"userId": 5340739, "userName": "Diễm Nguyễn Thị "}