Tìm $x,y,z$ ∈ $N$ thỏa mãn $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$.

Bùi Ngọc Diễm

Ta có: $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$ ⇔ $x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}$

⇔ $\left(x-y-z\right)+2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}$

⇔ $\left(x-y-z\right)^2+4\sqrt{3}\left(x-y-z\right)+12=4yz$ (1)

TH1 Nếu $x-y-z\ne0$ ta có: $\sqrt{3}=\frac{4yz-\left(x-y-z\right)^2-12}{4\left(x-y-z\right)}$ (vô lí)

TH2: $x-y-z=0$ khi đó (1) ⇒ $x-y-z=0;yz=3$

⇒ $x=4;y=1;z=3$ hoặc $x=4;y=3;z=1$

Thử lại...