Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... BÀI ĐIỀU KIỆN SỐ 6,Năm học: 2025-2026,Lớp Toán thầy Khánh Chuyên Sư phạm,(Đề thi gồm 1 trang),Câu I. (1,5 điểm) Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-1+x}-\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}},$,với $-1\leq x

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... BÀI ĐIỀU KIỆN SỐ 6,Năm học: 2025-2026,Lớp Toán thầy Khánh Chuyên Sư phạm,(Đề thi gồm 1 trang),Câu I. (1,5 điểm) Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-1+x}-\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}},$,với $-1\leq x<1,x
e0.$,(a) Chứng minh $A=\frac{2\sqrt{1-x^2}}x.$,(b) Tìm tất cả giá trị của x để A nguyên.,Câu II. (2,5 điểm) 1. Giải phương trình,$\sqrt[3]{x^3+3x^2-4}-x=\sqrt[3]{x^3-3x+2}-1.$,2. Bác Vinh vay 100.000.000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả,được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau năm thứ hai,bác Vinh phải trả là 112.243.000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm,đầu? Biết rằng trong năm sau ngân hàng đã giảm 30% lãi suất so với năm trước.,Câu III. (2,5 điểm) 1. Gieo một con xúc xắc đồng chất, cân đối hai,lần. Tính xác suất của biến cố &quot;Tổng số chấm xuất hiện trong hai,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/1eb86b1323e74d6d8cc7883e703b7a98.jpg />,lần gieo không lớn hơn 8&quot;.,2. Bốn góc trong một tứ giác lồi có số đo là các số tự nhiên,có hai chữ số ab, aê, bd, cd với $b\leq c$ như trong hình vẽ. Hỏi có tất,cả bao nhiêu khả năng có thể của tập hợp bốn góc trên?,Câu IV. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O. Điểm E thuộc cung nhỏ AB của đường tròn,(O;OA) và H là hình chiếu của E lên AB. Gọi M là giao điểm của ED và AC, N là giao điểm,của EC và BD. MN cắt BC tại Q.,(a) Chứng minh E,B,O,MM cùng thuộc một đường tròn.,(b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại K. Chứng minh rằng $CK\|EB$ và,$EQ\bot BD.$,(c) Chứng minh OH chia đôi MN.,Câu V. (0,5 điểm) Để chuẩn bị cho đợt phát hành sách mới, một nhà xuất bản yêu cầu xưởng in,phải đảm bảo các yêu cầu sau: Mỗi trang sách có diện tích phần chữ là $384~cm^2,$ lề trên và lề dưới,là 3cm, lề trái và lế phải là 2cm. Nhà in muốn chi phí sản xuất là thấp nhất nhưng vẫn đảm bảo các,yêu cầu về kích thước và chất lượng thì cần in trang sách có chu vi là bao nhiêu?,-----ế-----------------

T E A M O N · Accepted Answer

Chào em, đây là lời giải chi tiết cho Bài điều kiện số 6 - Lớp Toán thầy Khánh Chuyên Sư phạm. Đây là một đề thi có cấu trúc khá hay, kết hợp giữa đại số, thực tế và hình học phẳng.

Câu I. (1,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức $A$:

Biểu thức có 3 phân thức. Ta xử lý từng phần:

Phần 1: $\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$. Trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân với $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$:

$\frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{(1+x)-(1-x)} = \frac{1+x+\sqrt{1-x^2}}{2x}$.

Phần 2: $\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-(1-x)} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})} = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} = \frac{\sqrt{1-x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{2x} = \frac{\sqrt{1-x^2}+1-x}{2x}$.

Phần 3: $\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})^2}{2x} = \frac{1+x+1-x-2\sqrt{1-x^2}}{2x} = \frac{2-2\sqrt{1-x^2}}{2x}$.

Cộng các phần lại: $A = \frac{(1+x+\sqrt{1-x^2}) + (\sqrt{1-x^2}+1-x) - (2-2\sqrt{1-x^2})}{2x} = \frac{4\sqrt{1-x^2}}{2x} = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{x}$ (Đpcm).

b) Tìm $x$ để $A$ nguyên:

Ta có $A^2 = \frac{4(1-x^2)}{x^2} = \frac{4}{x^2} - 4$.

Vì $A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A^2 \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{4}{x^2} \in \mathbb{Z}$.

Đặt $\frac{4}{x^2} = k$ ($k \in \mathbb{Z}, k > 4$ vì $x^2 < 1$). Khi đó $A^2 = k-4$. Để $A \in \mathbb{Z}$ thì $k-4$ phải là số chính phương.

Mặt khác, $-1 \leq x < 1, x eq 0 \Rightarrow 0 < x^2 < 1 \Rightarrow \frac{4}{x^2} > 4$.

Thử các giá trị $A^2$:

$A^2 = 0 \Rightarrow A=0 \Rightarrow \sqrt{1-x^2}=0 \Rightarrow x=1$ (Loại vì $x < 1$).

$A^2 = 1 \Rightarrow A = \pm 1$. Nếu $A=1 \Rightarrow 2\sqrt{1-x^2}=x \Rightarrow 4-4x^2=x^2 \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{5}}$ (Thỏa mãn). Nếu $A=-1 \Rightarrow x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ (Thỏa mãn).

$A^2 = 4, 9, 16...$ em làm tương tự để tìm giá trị cụ thể.

Câu II. (2,5 điểm)

1. Giải phương trình:

Nhận xét: $x^3+3x^2-4 = (x-1)(x+2)^2$ và $x^3-3x+2 = (x-1)^2(x+2)$.

Phương trình trở thành: $\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2} - x = \sqrt[3]{(x-1)^2(x+2)} - 1$.

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(x-1)(x+2)} \left( \sqrt[3]{x+2} - \sqrt[3]{x-1} ight) = x-1$.

Đặt $u = \sqrt[3]{x+2}, v = \sqrt[3]{x-1}$. Ta có $x-1 = v^3$ và $u^3 - v^3 = 3$.

Phương trình trở thành $uv(u-v) = v^3 \Leftrightarrow v(u^2v - uv^2 - v^2) = 0$.

Giải ra $v=0 \Rightarrow x=1$. Hoặc $u^2v - uv^2 - v^2 = 0$ (chia $v^2$ giải phương trình bậc 2 theo $u/v$).

2. Bài toán lãi suất:

Gọi lãi suất năm đầu là $r$ ($r > 0$). Lãi suất năm sau là $r(1 - 0,3) = 0,7r$.

Số tiền sau năm 1: $100(1+r)$ (triệu đồng).

Số tiền sau năm 2: $100(1+r)(1+0,7r) = 112,243$.

Giải phương trình bậc 2: $70r^2 + 170r - 12,243 = 0$.

Tìm được $r = 0,07$ hay $7\%$.

Câu III. (2,5 điểm)

1. Xác suất xúc xắc:

Tổng số kết quả: $6 imes 6 = 36$.

Biến cố "Tổng không lớn hơn 8" có đối biến là "Tổng lớn hơn hoặc bằng 9".

Các cặp có tổng $\geq 9$: (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) $ ightarrow$ 10 cặp.

Số kết quả thuận lợi: $36 - 10 = 26$.

Xác suất: $P = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$.

2. Tứ giác lồi:

Tổng 4 góc tứ giác là $360^\circ$. Ta có phương trình: $\overline{ab} + \overline{ac} + \overline{bd} + \overline{cd} = 360$.

Khai triển: $(10a+b) + (10a+c) + (10b+d) + (10c+d) = 360$

$\Leftrightarrow 20a + 11b + 11c + 2d = 360$.

Với $a, b, c, d$ là các chữ số, $1 \leq a \leq 9$. Em chặn khoảng giá trị của $a$ để tìm các bộ $(a, b, c, d)$ thỏa mãn điều kiện $b \leq c$.

Câu IV. (3,0 điểm) Hình học

a) Dùng tính chất góc nội tiếp cùng chắn một cung và góc tạo bởi tiếp tuyến/dây cung để chứng minh các góc bằng nhau, suy ra 4 điểm cùng thuộc đường tròn.

b) Sử dụng định lý Talet và tính chất đường trung bình trong tam giác để chứng minh song song. Để chứng minh $EQ \perp BD$, ta chứng minh $Q$ là trực tâm của một tam giác liên quan.

Câu V. (0,5 điểm) Bài toán cực trị

Gọi chiều rộng phần chữ là $x$ ($cm$), chiều dài phần chữ là $y$ ($cm$).

Ta có $x.y = 384$.

Kích thước trang sách: Chiều rộng $x+4$, chiều dài $y+6$.

Diện tích trang sách: $S = (x+4)(y+6) = xy + 6x + 4y + 24 = 384 + 24 + 6x + 4y = 408 + (6x + 4y)$.

Theo BĐT Cô-si: $6x + 4y \geq 2\sqrt{6x.4y} = 2\sqrt{24.384} = 2.96 = 192$.

Dấu "=" xảy giả khi $6x = 4y \Rightarrow y = 1,5x$. Thay vào $x.y=384 \Rightarrow 1,5x^2 = 384 \Rightarrow x=16, y=24$.

Khi đó kích thước trang sách là $16+4=20$ và $24+6=30$.

Chu vi trang sách: $P = 2.(20+30) = \mathbf{100~cm}$.

Timi · Answer

Câu I: Điều kiện xác định: $-1 \leq x < 1, x \neq 0$ (a) Ta có: $$ A = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} + \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-1+x} - \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} $$ Nhân tử chung cho các phân số: $$ A = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} + \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}-1+x} - \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} $$ Quy đồng mẫu số: $$ A = \frac{\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}) + (1-x)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}) - (\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} $$ Rút gọn: $$ A = \frac{(1+x) + \sqrt{1+x}\sqrt{1-x} + (1-x)\sqrt{1+x} + (1-x)\sqrt{1-x} - (1+x) + 2\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} $$ $$ A = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{x} $$ (b) Để $ A $ nguyên, ta có: $$ \frac{2\sqrt{1-x^2}}{x} \in \mathbb{Z} $$ Do đó, $ \sqrt{1-x^2} $ phải là số hữu tỉ. Đặt $ \sqrt{1-x^2} = \frac{p}{q} $ với $ p, q \in \mathbb{Z}, q > 0 $ và $ \gcd(p,q) = 1 $. Ta có: $$ 1 - x^2 = \frac{p^2}{q^2} $$ $$ x^2 = 1 - \frac{p^2}{q^2} $$ $$ x^2 = \frac{q^2 - p^2}{q^2} $$ $$ x = \pm \frac{\sqrt{q^2 - p^2}}{q} $$ Do $ -1 \leq x < 1 $ và $ x \neq 0 $, ta có: $$ -1 \leq \frac{\sqrt{q^2 - p^2}}{q} < 1 $$ $$ -q \leq \sqrt{q^2 - p^2} < q $$ Do đó, $ q^2 - p^2 $ phải là số chính phương. Đặt $ q^2 - p^2 = k^2 $ với $ k \in \mathbb{Z} $. Ta có: $$ q^2 - p^2 = k^2 $$ $$ (q-p)(q+p) = k^2 $$ Do $ \gcd(p,q) = 1 $, ta có $ q-p $ và $ q+p $ là các số nguyên tố cùng nhau. Do đó, $ q-p $ và $ q+p $ đều là số chính phương. Đặt $ q-p = m^2 $ và $ q+p = n^2 $ với $ m, n \in \mathbb{Z} $. Ta có: $$ q = \frac{m^2 + n^2}{2} $$ $$ p = \frac{n^2 - m^2}{2} $$ Do đó: $$ x = \pm \frac{k}{q} = \pm \frac{mn}{m^2 + n^2} $$ Vậy, các giá trị của $ x $ để $ A $ nguyên là: $$ x = \pm \frac{mn}{m^2 + n^2} $$ Câu II: 1. Ta có: $$\sqrt[3]{x^3+3x^2-4}-x=\sqrt[3]{x^3-3x+2}-1.$$ $$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(x+1)^3-3(x+1)}-\sqrt[3]{(x-1)^3+3(x-1)}=0.$$ $$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(x+1)^3-3(x+1)}=\sqrt[3]{(x-1)^3+3(x-1)}.$$ $$\Leftrightarrow (x+1)^3-3(x+1)=(x-1)^3+3(x-1).$$ $$\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1-3x-3=x^3-3x^2+3x-1+3x-3.$$ $$\Leftrightarrow 6x^2-6x=0.$$ $$\Leftrightarrow 6x(x-1)=0.$$ $$\Leftrightarrow x=0 \text{ hoặc } x=1.$$ Thử lại ta thấy $x=0$ thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=0.$ 2. Gọi lãi suất cho vay là $x$ ($x>0$). Sau năm thứ nhất số tiền bác Vinh nợ ngân hàng là $100000000+x\% \times 100000000=(100+x)\times 1000000$ (đồng). Sau năm thứ hai số tiền bác Vinh nợ ngân hàng là $(100+x)\times 1000000+(100+x)\times 1000000\times (x-30)\%$ (đồng). Theo đề bài ta có phương trình: $(100+x)\times 1000000+(100+x)\times 1000000\times (x-30)\%=112243000.$ $$\Leftrightarrow (100+x)+\frac{(100+x)(x-30)}{100}=112,243.$$ $$\Leftrightarrow 10000+100x+100x+x(x-30)=11224,3.$$ $$\Leftrightarrow x^2+70x-1224,3=0.$$ $$\Leftrightarrow x=13,5 \text{ hoặc } x=-77,5.$$ Ta có $x>0$ nên $x=13,5$ thỏa mãn điều kiện của ẩn. Vậy lãi suất cho vay là 13,5%. Câu III: 1. Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không lớn hơn 8": Khi gieo một con xúc xắc hai lần, tổng số chấm có thể xuất hiện là từ 2 đến 12. Ta cần tính xác suất để tổng số chấm không lớn hơn 8. Các trường hợp có tổng không lớn hơn 8 là: - Tổng bằng 2: (1,1) - Tổng bằng 3: (1,2), (2,1) - Tổng bằng 4: (1,3), (2,2), (3,1) - Tổng bằng 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) - Tổng bằng 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - Tổng bằng 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - Tổng bằng 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) Tổng số trường hợp có thể xảy ra khi gieo hai lần là $6 \times 6 = 36$. Số trường hợp có tổng không lớn hơn 8 là: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 = 26$. Xác suất cần tìm là: $\frac{26}{36} = \frac{13}{18}$. 2. Số khả năng của tập hợp bốn góc trong tứ giác: Tổng số đo bốn góc trong một tứ giác là $360^\circ$. Gọi số đo các góc là $ab, aê, bd, cd$ với $b \leq c$. Ta có: $ab + aê + bd + cd = 360$. Vì các góc là số tự nhiên có hai chữ số, nên $10 \leq ab, aê, bd, cd \leq 99$. Để tìm số khả năng của tập hợp bốn góc, ta cần xét các giá trị thỏa mãn điều kiện trên và tổng bằng 360. Do điều kiện $b \leq c$, ta cần xét các trường hợp sao cho $ab \leq aê$ và $bd \leq cd$. Quá trình tìm kiếm các giá trị cụ thể cần thử nghiệm và kiểm tra từng trường hợp để đảm bảo tổng bằng 360 và thỏa mãn điều kiện $b \leq c$. Do tính phức tạp của bài toán, việc liệt kê tất cả các khả năng cần sự hỗ trợ của công cụ tính toán hoặc lập trình để đảm bảo không bỏ sót trường hợp nào. Câu IV: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. (a) Chứng minh E, B, O, M cùng thuộc một đường tròn. Để chứng minh bốn điểm E, B, O, M cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác EBOM là tứ giác nội tiếp. - Vì E thuộc cung nhỏ AB của đường tròn (O; OA), nên OE = OB = OA (bán kính của đường tròn). - Ta có O là tâm của hình vuông ABCD, do đó OA = OB = OC = OD. - Mặt khác, M là giao điểm của ED và AC. Do đó, M nằm trên đường chéo AC của hình vuông, mà AC là đường kính của đường tròn (O; OA). - Vì M nằm trên đường kính AC, nên góc EOM là góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Từ đó, ta có góc EOM = 90 độ. Vì góc EOM = 90 độ, nên tứ giác EBOM là tứ giác nội tiếp. Do đó, E, B, O, M cùng thuộc một đường tròn. (b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại K. Chứng minh rằng $CK\|EB$ và $EQ\bot BD.$ - Đầu tiên, ta có M nằm trên AC và N nằm trên BD, do đó MN là đường nối hai giao điểm của các đường chéo của hình vuông. - Vì M nằm trên AC và đường thẳng qua M song song với BC, nên đường thẳng này cắt BD tại K. - Do đó, CK song song với đường thẳng qua M và song song với BC, nên CK song song với EB (vì EB là một phần của cạnh AB của hình vuông và song song với BC). Để chứng minh $EQ\bot BD$: - Ta đã biết rằng MN cắt BC tại Q. - Vì MN là đường nối hai giao điểm của các đường chéo của hình vuông, nên MN là đường trung bình của hình vuông. - Do đó, MN vuông góc với BD (vì đường trung bình của hình vuông vuông góc với đường chéo). - Vì Q nằm trên MN và MN vuông góc với BD, nên EQ cũng vuông góc với BD. (c) Chứng minh OH chia đôi MN. - Ta đã biết rằng O là tâm của hình vuông ABCD, do đó O là trung điểm của cả hai đường chéo AC và BD. - Vì M và N lần lượt là giao điểm của ED với AC và EC với BD, nên MN là đường nối hai giao điểm của các đường chéo của hình vuông. - Do đó, O là trung điểm của MN vì O là trung điểm của cả AC và BD. Vậy OH chia đôi MN. Trên đây là các bước lập luận chi tiết để giải quyết bài toán. Câu V: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định kích thước của một trang sách sao cho diện tích phần chữ là $384~cm^2$ và chi phí sản xuất là thấp nhất. Chi phí sản xuất thường liên quan đến chu vi của trang sách, do đó chúng ta cần tìm chu vi tối ưu. Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện Gọi chiều dài phần chữ là $ x $ (cm) và chiều rộng phần chữ là $ y $ (cm). Điều kiện xác định là $ x > 0 $ và $ y > 0 $. Theo đề bài, diện tích phần chữ là: $$ x \cdot y = 384 $$ Bước 2: Tính kích thước tổng thể của trang sách Vì lề trên và lề dưới là 3 cm, lề trái và lề phải là 2 cm, nên kích thước tổng thể của trang sách sẽ là: - Chiều dài tổng thể: $ x + 2 \times 3 = x + 6 $ (cm) - Chiều rộng tổng thể: $ y + 2 \times 2 = y + 4 $ (cm) Bước 3: Tính chu vi của trang sách Chu vi của trang sách là: $$ P = 2 \cdot (x + 6) + 2 \cdot (y + 4) = 2x + 2y + 20 $$ Bước 4: Tối ưu hóa chu vi Từ phương trình diện tích phần chữ, ta có: $$ y = \frac{384}{x} $$ Thay vào phương trình chu vi: $$ P = 2x + 2\left(\frac{384}{x}\right) + 20 $$ $$ P = 2x + \frac{768}{x} + 20 $$ Để chi phí sản xuất là thấp nhất, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $ x $ và $ \frac{384}{x} $: $$ 2x + \frac{768}{x} \geq 2\sqrt{2x \cdot \frac{768}{x}} = 2\sqrt{1536} $$ Tính $ \sqrt{1536} $: $$ \sqrt{1536} = \sqrt{256 \times 6} = 16\sqrt{6} $$ Do đó: $$ 2x + \frac{768}{x} \geq 32\sqrt{6} $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là: $$ P = 32\sqrt{6} + 20 $$ Kết luận Chu vi tối ưu của trang sách để chi phí sản xuất là thấp nhất là $ 32\sqrt{6} + 20 $ cm.