6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(- 2; 3; 0) B(4; 0; 5) C((0/2) / - 3)

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tính toạ độ vectơ AG VỚI G trọng tâm tam giác ABC.

d) Tính cos BAC
e) tìm tọa độ điểm d sao cho aABCDcd là hình bình hành
f) TÌM TỌA ĐỘ Vectơ a vuông góc với cả 2 vectơ AB ,AC

Question

6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(- 2; 3; 0) B(4; 0; 5) C((0/2) / - 3)

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tính toạ độ vectơ AG VỚI G trọng tâm tam giác ABC.

d) Tính cos BAC
e) tìm tọa độ điểm d sao cho aABCDcd là hình bình hành 
f) TÌM TỌA ĐỘ Vectơ a vuông góc với cả 2 vectơ AB ,AC

Nhật Mnh Nguyễn · Accepted Answer

a) Ta có: $\vec{A B} = (6; - 3; 5), \vec{A C} = (2; - 1; - 3), k \vec{A C} = (2 k; - k; - 3 k)$ .

Suy ra $\vec{A B} \neq k \vec{A C}$ với mọi $k \in R$ .

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có:

$\begin{array}{l} A B = | \vec{A B} | = \sqrt{6^{2} + {(- 3)}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{70} \\ A C = | \vec{A C} | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{14} \\ B C = | \vec{B C} | = \sqrt{{(0 - 4)}^{2} + {(2 - 0)}^{2} + {(- 3 - 5)}^{2}} = 2 \sqrt{21} \end{array}$

Do đó, chu vi tam giác ABC là: $\sqrt{70} + \sqrt{14} + 2 \sqrt{21}$

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ ${\begin{cases} x = \frac{- 2 + 4 + 0}{3} = \frac{2}{3} \\ y = \frac{3 + 0 + 2}{3} = \frac{5}{3} \\ z = \frac{0 + 5 - 3}{3} = \frac{2}{3} \end{cases}$

Timi · Answer

a) Ta có $\overrightarrow{AB} = (6; -3; 5)$ và $\overrightarrow{AC} = (2; -6; 2)$

Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng, tức là tồn tại số thực k sao cho $\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}$.

Từ đó ta có:
$$6 = 2k$$
$$-3 = -6k$$
$$5 = 2k$$

Tuy nhiên, từ phương trình đầu tiên ta có $k = 3$, nhưng từ phương trình thứ hai ta có $k = \frac{1}{2}$. Điều này mâu thuẫn, do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính khoảng cách giữa các điểm:
$$AB = \sqrt{(4 + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{36 + 9 + 25} = \sqrt{70}$$
$$BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-3 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 9} = \sqrt{34}$$
$$CA = \sqrt{(0 + 2)^2 + (-3 - 3)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 36 + 4} = \sqrt{44}$$

Chu vi tam giác ABC là:
$$P = AB + BC + CA = \sqrt{70} + \sqrt{34} + \sqrt{44}$$

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
$$G = \left(\frac{-2 + 4 + 0}{3}; \frac{3 + 0 - 3}{3}; \frac{0 + 5 + 2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}; 0; \frac{7}{3}\right)$$

Vectơ AG:
$$\overrightarrow{AG} = \left(\frac{2}{3} + 2; 0 - 3; \frac{7}{3} - 0\right) = \left(\frac{8}{3}; -3; \frac{7}{3}\right)$$

d) Tính cos BAC:
$$\cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|}$$

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \cdot 2 + (-3) \cdot (-6) + 5 \cdot 2 = 12 + 18 + 10 = 40$$

$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{70}, \quad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{44}$$

$$\cos \angle BAC = \frac{40}{\sqrt{70} \cdot \sqrt{44}} = \frac{40}{\sqrt{3080}} = \frac{40}{2\sqrt{770}} = \frac{20}{\sqrt{770}} = \frac{20\sqrt{770}}{770} = \frac{2\sqrt{770}}{77}$$

e) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành:
$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$

$$\overrightarrow{BC} = (0 - 4; -3 - 0; 2 - 5) = (-4; -3; -3)$$

$$\overrightarrow{AD} = (-4; -3; -3)$$

Tọa độ điểm D:
$$D = A + \overrightarrow{AD} = (-2; 3; 0) + (-4; -3; -3) = (-6; 0; -3)$$

f) Tìm tọa độ vectơ a vuông góc với cả 2 vectơ AB và AC:
$$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$

$$\overrightarrow{a} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
6 & -3 & 5 \
2 & -6 & 2
\end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(2) - (5)(-6)) - \mathbf{j}((6)(2) - (5)(2)) + \mathbf{k}((6)(-6) - (-3)(2))$$

$$= \mathbf{i}(-6 + 30) - \mathbf{j}(12 - 10) + \mathbf{k}(-36 + 6)$$

$$= 24\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 30\mathbf{k}$$

$$= (24; -2; -30)$$

6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(- 2; 3; 0) B(4; 0; 5) C((0/2) / - 3) a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tính chu vi tam giác ABC. c) Tính toạ độ vectơ AG VỚI G trọ...