Giải hộ mình câu 21 với

Bài tập 19. Để tính độ dài các đoạn thẳng \(BC\) và \(AM\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài đoạn thẳng \(BC\): - Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), do đó ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài \(BC\). \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] 2. Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\): - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. \[ AM = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \] Kết luận: - Độ dài đoạn thẳng \(BC\) là \(10 \text{ cm}\). - Độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(5 \text{ cm}\). Bài tập 20. a) Chứng minh hai tam giác AMB và AMC là tam giác cân. Trong tam giác ABC, M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến. Theo tính chất của tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Do đó: AM = MB = MC Vậy tam giác AMB và AMC đều là tam giác cân. b) So sánh \(\widehat{BAH}\) với \(\widehat{MCA}\); \(\widehat{CAH}\) với \(\widehat{MAB}\). Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: - \(\widehat{BAH} + \widehat{CAH} = 90^\circ\) (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC). - \(\widehat{MCA} + \widehat{MAB} = 90^\circ\) (vì AM là đường trung tuyến và M là trung điểm của BC, do đó \(\widehat{MCA}\) và \(\widehat{MAB}\) là các góc phụ của \(\widehat{CAB}\)). Do đó, ta có: - \(\widehat{BAH} = \widehat{MCA}\) - \(\widehat{CAH} = \widehat{MAB}\) Vậy \(\widehat{BAH}\) bằng \(\widehat{MCA}\) và \(\widehat{CAH}\) bằng \(\widehat{MAB}\). Bài tập 21. a) Ta có $\widehat{AHD}=\widehat{AHE}=90^{\circ}$ nên tứ giác ADHE nội tiếp. Mà $\widehat{DAE}=90^{\circ}$ nên tứ giác ADHE là hình vuông. b) Ta có $\widehat{DHA}=\widehat{DEA}=90^{\circ}$ nên tứ giác ADEH nội tiếp. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEH. Vậy $OA=OH=OD=OE$. Bài tập 22. a) Vì D là trung điểm của BC nên ta có BD = DC. Mặt khác, ta có $DH//AC$ và $DK//AB$, do đó tứ giác AHDK là hình bình hành. Do đó, ta có AH = HK và AK = HD. Từ đó suy ra H là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC. b) Ta đã chứng minh ở trên rằng tứ giác AHDK là hình bình hành. Mặt khác, ta có $\widehat{A} = 90^{\circ}$ (vì tam giác ABC vuông tại A), do đó tứ giác AHDK là hình chữ nhật. Bài tập 23. a) Ta có M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC nên MN song song với AB và MN = $\frac{1}{2}$AB. N lại là trung điểm của MI nên MI = 2MN = AB. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Vậy MI = AB = AC. b) Ta có MN song song với AB nên góc AMN = góc BAM. Mà N là trung điểm của MI nên MA là đường trung trực của IN. Vậy góc AMN = góc IAM. Từ đó suy ra góc IAM = góc BAM nên IA song song với BM. Ta có IA song song với BM và IM song song với AB nên tứ giác AICM là hình bình hành. Mặt khác, tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên AM vuông góc với BC. Vậy tứ giác AICM là hình chữ nhật. Bài tập 24. a) Ta có $\triangle ABC$ đều nên $AB = AC = BC$. M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC nên $BM = MC = \frac{BC}{2}$ và $AN = NC = \frac{AC}{2}$. Do đó, $MC = \frac{BC}{2} = \frac{AC}{2}$. Vì $Ax // BC$, ta có $\angle AEx = \angle MCE$ (hai góc đồng vị). $\triangle AEx$ và $\triangle MCE$ có: - $\angle AEx = \angle MCE$ - $\angle EAx = \angle EMC$ (hai góc so le trong) - $AE = MC$ (vì $Ax // BC$ và $E$ nằm trên đường thẳng $Ax$) Do đó, $\triangle AEx = \triangle MCE$ (cặp góc - cạnh - góc). Suy ra $ME = AE$. Ta cũng có $AE = NC$ (vì $Ax // BC$ và $E$ nằm trên đường thẳng $Ax$). Do đó, $ME = NC = \frac{AC}{2}$. b) Để chứng minh tứ giác AMCE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc của nó đều là góc vuông. Ta đã biết $Ax // BC$, do đó $\angle AEM = \angle MCB$ (hai góc đồng vị). Vì $\triangle ABC$ đều, nên $\angle MCB = 60^\circ$. Do đó, $\angle AEM = 60^\circ$. Ta cũng có $\angle AMC = 90^\circ$ (vì M là trung điểm của BC và $\triangle ABC$ đều). Do đó, $\angle AME = 90^\circ - \angle AEM = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Vì $Ax // BC$, ta có $\angle AEC = \angle MCB = 60^\circ$. Do đó, $\angle AEC = 60^\circ$. Ta cũng có $\angle ACE = 90^\circ$ (vì N là trung điểm của AC và $\triangle ABC$ đều). Do đó, $\angle ACE = 90^\circ$. Từ đó, ta thấy rằng các góc của tứ giác AMCE đều là góc vuông, do đó tứ giác AMCE là hình chữ nhật. Bài tập 25. a) Ta có: - \(Ax \parallel BC\) và \(AH \perp BC\), suy ra \(Ax \perp AH\). - \(Cy \parallel AH\) và \(AH \perp BC\), suy ra \(Cy \perp BC\). Do đó, \(Ax \perp AH\) và \(Cy \perp BC\), suy ra \(AD \perp AH\) và \(CD \perp CH\). Tứ giác \(ADCH\) có hai cặp góc vuông, do đó \(ADCH\) là hình chữ nhật. b) Ta có: - \(ADCH\) là hình chữ nhật, suy ra \(AC = HD\). - \(AH\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\) của tam giác cân \(ABC\), suy ra \(AH\) cũng là đường trung tuyến hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\). Do đó, \(HN = \frac{HD}{2} = \frac{AC}{2}\). Ta tính \(AC\) trong tam giác cân \(ABC\): - \(AB = AC = 8 \text{ cm}\). Suy ra \(HN = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}\). Đáp số: \(HN = 4 \text{ cm}\). Bài tập 26. a) Ta có M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MN = $\frac{1}{2}$AB và MN = $\frac{1}{2}$AC. Mà M là trung điểm của ND nên MN = MD. Từ đó ta có: ND = MN + MD = $\frac{1}{2}$AB + $\frac{1}{2}$AB = AB Tương tự ta cũng có ND = AC. b) Ta có MN = $\frac{1}{2}$AB và ND = AB nên MN = $\frac{1}{2}$ND. Mà M là trung điểm của ND nên MN = MD. Từ đó ta có: MN = MD = $\frac{1}{2}$ND Ta lại có MN = $\frac{1}{2}$AC và ND = AC nên MN = $\frac{1}{2}$ND. Mà M là trung điểm của ND nên MN = MD. Từ đó ta có: MN = MD = $\frac{1}{2}$ND Do đó, MN = MD = NC = $\frac{1}{2}$ND. Từ đó ta có: MN = MD = NC = NB Vậy tứ giác BDCN là hình chữ nhật. Bài tập 27. a) Ta có: - \(Ax \parallel BC\) và \(Cy \parallel AH\). - \(AH\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\) của tam giác cân \(ABC\), do đó \(AH \perp BC\). Từ đó suy ra: - \(Ax \perp Cy\) vì \(Ax \parallel BC\) và \(Cy \parallel AH\), mà \(AH \perp BC\). Do đó, tứ giác \(ADCH\) có hai cặp cạnh song song và vuông góc với nhau, tức là \(AD \parallel CH\) và \(DH \parallel AC\). Vậy tứ giác \(ADCH\) là hình chữ nhật. b) - \(CM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\), do đó \(M\) là trung điểm của \(AB\). - \(G\) là giao điểm của đường trung tuyến \(CM\) và đường cao \(AH\). Trong tam giác cân \(ABC\) với đường cao \(AH\) cũng là đường trung tuyến và đường phân giác, ta có: - \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), vì trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến. Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Đáp số: a) Tứ giác \(ADCH\) là hình chữ nhật. b) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).