Sốdisodidhgg

Câu 1. Để hàm số \( g(x) = f(x^2 + 3x - m) + m^2 + 1 \) đồng biến trên khoảng \( (1;3) \), ta cần \( f'(u) > 0 \) với \( u = x^2 + 3x - m \) và \( x \in (1;3) \). Trước tiên, ta tìm tập xác định của \( f'(x) \): \[ f'(x) = x^2 - 4x + 3 \] Tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) khi \( x < 1 \) hoặc \( x > 3 \). Tiếp theo, ta xét \( u = x^2 + 3x - m \) trên khoảng \( (1;3) \): \[ u' = 2x + 3 \] \[ u'(x) > 0 \text{ với mọi } x \in (1;3) \] Do đó, \( u(x) \) là hàm số đồng biến trên khoảng \( (1;3) \). Ta cần \( u(x) \) nằm trong các khoảng \( (-\infty;1) \) hoặc \( (3;+\infty) \). Ta tính \( u(1) \) và \( u(3) \): \[ u(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 - m = 4 - m \] \[ u(3) = 3^2 + 3 \cdot 3 - m = 18 - m \] Để \( u(x) \) nằm trong các khoảng \( (-\infty;1) \) hoặc \( (3;+\infty) \) trên khoảng \( (1;3) \), ta cần: \[ 4 - m \geq 3 \text{ hoặc } 18 - m \leq 1 \] \[ m \leq 1 \text{ hoặc } m \geq 17 \] Vậy, các giá trị nguyên của \( m \) thuộc đoạn \( [-10;20] \) thỏa mãn điều kiện trên là: \[ m = -10, -9, ..., 1 \text{ hoặc } m = 17, 18, 19, 20 \] Tổng cộng có: \[ 12 + 4 = 16 \text{ giá trị} \] Đáp số: 16 giá trị nguyên của \( m \). Câu 3. Để xác định số lượng hệ số dương trong hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số để suy ra các tính chất của các hệ số \( a, b, c, d \). 1. Xác định dấu của \( a \): - Đồ thị hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) có dạng cong lên ở hai đầu, tức là khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \), giá trị của \( y \) cũng tăng lên. Điều này chỉ xảy ra khi hệ số \( a > 0 \). Do đó, \( a \) là số dương. 2. Xác định dấu của \( d \): - Điểm giao của đồ thị với trục \( Oy \) (tức là giá trị của \( y \) khi \( x = 0 \)) là \( d \). Từ đồ thị, ta thấy điểm giao này nằm phía trên trục \( Ox \), do đó \( d > 0 \). Vậy \( d \) là số dương. 3. Xác định dấu của \( b \) và \( c \): - Ta cần xem xét các điểm cực trị của hàm số. Đồ thị cho thấy hàm số có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Để xác định dấu của \( b \) và \( c \), ta cần xem xét đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] - Đạo hàm \( y' \) phải có hai nghiệm thực khác nhau để hàm số có hai điểm cực trị. Điều này đòi hỏi: \[ \Delta = (2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c > 0 \implies 4b^2 - 12ac > 0 \implies b^2 - 3ac > 0 \] - Vì \( a > 0 \), để \( b^2 - 3ac > 0 \), \( b \) và \( c \) có thể có các dấu khác nhau hoặc cùng dấu tùy thuộc vào giá trị cụ thể của chúng. Tuy nhiên, từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, điều này cho thấy \( b \) và \( c \) có thể có các dấu khác nhau. 4. Tổng kết: - \( a > 0 \) - \( d > 0 \) - \( b \) và \( c \) có thể có các dấu khác nhau hoặc cùng dấu, nhưng không ảnh hưởng đến số lượng hệ số dương. Do đó, trong các hệ số \( a, b, c, d \), có ít nhất 2 hệ số dương là \( a \) và \( d \). Đáp số: 2 hệ số dương. Câu 4. Gọi số máy móc công ty sử dụng là \( n \) (n > 0). Thời gian để sản xuất 8000 quả bóng tennis là: \[ \frac{8000}{40 \times n} = \frac{200}{n} \text{ (giờ)} \] Chi phí thiết lập các máy móc là: \[ 200 \times n \text{ (nghìn đồng)} \] Chi phí trả cho người giám sát là: \[ 196 \times \frac{200}{n} = \frac{39200}{n} \text{ (nghìn đồng)} \] Tổng chi phí hoạt động là: \[ f(n) = 200n + \frac{39200}{n} \text{ (nghìn đồng)} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(n) \), ta tính đạo hàm của \( f(n) \): \[ f'(n) = 200 - \frac{39200}{n^2} \] Đặt \( f'(n) = 0 \) để tìm điểm cực tiểu: \[ 200 - \frac{39200}{n^2} = 0 \] \[ 200n^2 = 39200 \] \[ n^2 = 196 \] \[ n = 14 \] Do đó, công ty nên sử dụng 14 máy móc để chi phí hoạt động là thấp nhất. Đáp số: 14 máy móc. Câu 5. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1} \), ta thực hiện phép chia đa thức \( x^2 - 3x + 4 \) cho \( x - 1 \): 1. Chia \( x^2 \) cho \( x \) để được \( x \). 2. Nhân \( x \) với \( x - 1 \) để được \( x^2 - x \). 3. Trừ \( x^2 - x \) từ \( x^2 - 3x + 4 \) để được \( -2x + 4 \). 4. Chia \( -2x \) cho \( x \) để được \( -2 \). 5. Nhân \( -2 \) với \( x - 1 \) để được \( -2x + 2 \). 6. Trừ \( -2x + 2 \) từ \( -2x + 4 \) để được \( 2 \). Do đó, ta có: \[ \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 1} = x - 2 + \frac{2}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần \( \frac{2}{x - 1} \) sẽ tiến đến 0. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = x - 2 \). Từ đây, ta nhận thấy rằng \( a = 1 \) và \( b = -2 \). Giá trị của \( P = 24a - b \) là: \[ P = 24 \cdot 1 - (-2) = 24 + 2 = 26 \] Đáp số: \( P = 26 \). Câu 6. Để hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 - 2mx^2 + (m+3)x - 5 + m$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên toàn bộ khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - 2mx^2 + (m+3)x - 5 + m\right)' = x^2 - 4mx + (m + 3) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, đạo hàm $y'$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 trên toàn bộ khoảng này. \[ x^2 - 4mx + (m + 3) \geq 0 \quad \forall x \in (-\infty; +\infty) \] Bước 3: Điều kiện để một tam thức bậc hai luôn dương là: - Hệ số của $x^2$ phải dương (điều này đã thoả mãn vì hệ số của $x^2$ là 1). - Đạo hàm tam thức phải có biệt thức nhỏ hơn hoặc bằng 0. \[ \Delta = b^2 - 4ac \leq 0 \] Trong đó, $a = 1$, $b = -4m$, $c = m + 3$. Thay vào ta có: \[ \Delta = (-4m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 3) \leq 0 \] \[ 16m^2 - 4(m + 3) \leq 0 \] \[ 16m^2 - 4m - 12 \leq 0 \] \[ 4m^2 - m - 3 \leq 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình $4m^2 - m - 3 \leq 0$. Ta tìm nghiệm của phương trình $4m^2 - m - 3 = 0$: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8} = \frac{1 \pm 7}{8} \] \[ m_1 = 1, \quad m_2 = -\frac{3}{4} \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $4m^2 - m - 3 \leq 0$ là: \[ -\frac{3}{4} \leq m \leq 1 \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $-\frac{3}{4} \leq m \leq 1$. Các giá trị nguyên của $m$ là: $m = 0, 1$. Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Đáp số: 2 giá trị nguyên của $m$.