Câu 2 đến câu 6 cứuu

Câu 2. Để tìm vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của hàm chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-t^3 + 18t^2 + 3) = -3t^2 + 36t \] 2. Tìm cực đại của hàm vận tốc tức thời: Để tìm giá trị lớn nhất của \( v(t) \), ta cần tìm điểm cực đại của hàm \( v(t) = -3t^2 + 36t \). Ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 36t) = -6t + 36 \] Đặt \( v'(t) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ -6t + 36 = 0 \implies t = 6 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( v(t) \): \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(-6t + 36) = -6 \] Vì \( v''(t) < 0 \), nên \( t = 6 \) là điểm cực đại của hàm \( v(t) \). 4. Tính giá trị của vận tốc tức thời tại điểm cực đại: Thay \( t = 6 \) vào \( v(t) \): \[ v(6) = -3(6)^2 + 36(6) = -3 \cdot 36 + 216 = -108 + 216 = 108 \] 5. Kiểm tra biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các biên của khoảng thời gian \( t = 0 \) và \( t = 18 \): \[ v(0) = -3(0)^2 + 36(0) = 0 \] \[ v(18) = -3(18)^2 + 36(18) = -3 \cdot 324 + 648 = -972 + 648 = -324 \] So sánh các giá trị \( v(0) = 0 \), \( v(6) = 108 \), và \( v(18) = -324 \), ta thấy rằng giá trị lớn nhất của vận tốc tức thời là 108 m/s, đạt được khi \( t = 6 \) giây. Đáp số: Vận tốc tức thời lớn nhất của chất điểm trong 18 giây đầu tiên là 108 m/s, đạt được khi \( t = 6 \) giây. Câu 3. Để tìm giá trị của \( t \) sao cho số người nhận phúc lợi tối đa, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( n(t) = \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( n(t) \): \[ n'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t\right) = t^2 - 12t + 32 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ t^2 - 12t + 32 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc hai, ta giải nó bằng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} \] \[ t = \frac{12 + 4}{2} = 8 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{12 - 4}{2} = 4 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị bằng cách kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ n''(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 12t + 32) = 2t - 12 \] Kiểm tra tại \( t = 4 \): \[ n''(4) = 2 \cdot 4 - 12 = -4 < 0 \] Do đó, \( t = 4 \) là điểm cực đại. Kiểm tra tại \( t = 8 \): \[ n''(8) = 2 \cdot 8 - 12 = 4 > 0 \] Do đó, \( t = 8 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn \( [0, 12] \): \[ n(0) = \frac{0^3}{3} - 6 \cdot 0^2 + 32 \cdot 0 = 0 \] \[ n(4) = \frac{4^3}{3} - 6 \cdot 4^2 + 32 \cdot 4 = \frac{64}{3} - 96 + 128 = \frac{64}{3} + 32 = \frac{64 + 96}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \] \[ n(8) = \frac{8^3}{3} - 6 \cdot 8^2 + 32 \cdot 8 = \frac{512}{3} - 384 + 256 = \frac{512}{3} - 128 = \frac{512 - 384}{3} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \] \[ n(12) = \frac{12^3}{3} - 6 \cdot 12^2 + 32 \cdot 12 = \frac{1728}{3} - 864 + 384 = 576 - 864 + 384 = 96 \] Từ các giá trị trên, ta thấy \( n(4) = \frac{160}{3} \) là giá trị lớn nhất. Vậy để số người nhận phúc lợi tối đa thì giá trị \( t \) là 4. Đáp số: \( t = 4 \) Câu 4. Để tiết kiệm tiền xăng nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( C(v) = \frac{16000}{v} + \frac{5}{2}v \) trên khoảng \( (0, 120] \). Bước 1: Tìm đạo hàm của \( C(v) \): \[ C'(v) = -\frac{16000}{v^2} + \frac{5}{2} \] Bước 2: Giải phương trình \( C'(v) = 0 \): \[ -\frac{16000}{v^2} + \frac{5}{2} = 0 \] \[ \frac{5}{2} = \frac{16000}{v^2} \] \[ v^2 = \frac{16000 \times 2}{5} \] \[ v^2 = 6400 \] \[ v = 80 \quad (\text{vì } v > 0) \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị \( v = 80 \) và các cận của khoảng \( (0, 120] \): - Tại \( v = 80 \): \[ C(80) = \frac{16000}{80} + \frac{5}{2} \times 80 = 200 + 200 = 400 \] - Tại \( v = 120 \): \[ C(120) = \frac{16000}{120} + \frac{5}{2} \times 120 = \frac{16000}{120} + 300 = \frac{400}{3} + 300 = \frac{400 + 900}{3} = \frac{1300}{3} \approx 433.33 \] So sánh các giá trị: - \( C(80) = 400 \) - \( C(120) \approx 433.33 \) Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \( C(v) \) là 400, đạt được khi \( v = 80 \). Kết luận: Để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế xe tải nên lái xe với tốc độ trung bình là 80 km/h. Câu 5. Gọi số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ là \( x \) (lần), \( x \) là số tự nhiên. Sau khi tăng giá, giá cho thuê mỗi căn hộ là \( 2 + 0,2x \) (triệu đồng). Số căn hộ còn lại có người thuê là \( 20 - x \) (căn hộ). Tổng số tiền thu được trong tháng là: \[ f(x) = (2 + 0,2x)(20 - x) \] \[ f(x) = 40 + 4x - 2x - 0,2x^2 \] \[ f(x) = 40 + 2x - 0,2x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \), ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 2 - 0,4x \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 2 - 0,4x = 0 \] \[ 0,4x = 2 \] \[ x = 5 \] Ta kiểm tra dấu của \( f'(x) \) ở hai bên điểm \( x = 5 \): - Khi \( x < 5 \), \( f'(x) > 0 \) - Khi \( x > 5 \), \( f'(x) < 0 \) Vậy \( f(x) \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x = 5 \). Giá cho thuê mỗi căn hộ để tổng số tiền thu được là lớn nhất là: \[ 2 + 0,2 \times 5 = 2 + 1 = 3 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: 3 triệu đồng. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng và điều kiện: - Điểm A trên bờ biển. - Điểm B trên hòn đảo. - Điểm C trên bờ biển sao cho BC vuông góc với bờ biển. - \(BC = 6 \text{ km}\), \(AC = 9 \text{ km}\). - Giá xây đường ống trên bờ là 50000 USD/km. - Giá xây đường ống dưới nước là 130000 USD/km. - Gọi M là điểm trên bờ biển sao cho AM = x (km). 2. Tính khoảng cách từ M đến B: - Khoảng cách MB dưới nước là đoạn thẳng từ M đến B. - Ta có \(MB = \sqrt{(9-x)^2 + 6^2} = \sqrt{(9-x)^2 + 36}\). 3. Lập phương trình chi phí: - Chi phí xây đường ống trên bờ từ A đến M là \(50000x\) USD. - Chi phí xây đường ống dưới nước từ M đến B là \(130000 \cdot \sqrt{(9-x)^2 + 36}\) USD. - Tổng chi phí là: \[ f(x) = 50000x + 130000 \sqrt{(9-x)^2 + 36} \] 4. Tìm giá trị x tối ưu: - Để tìm giá trị x tối ưu, ta tính đạo hàm của \(f(x)\) và tìm điểm cực tiểu. - Đạo hàm của \(f(x)\): \[ f'(x) = 50000 + 130000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{-2(9-x)}{\sqrt{(9-x)^2 + 36}} \] \[ f'(x) = 50000 - 130000 \cdot \frac{9-x}{\sqrt{(9-x)^2 + 36}} \] - Đặt \(f'(x) = 0\): \[ 50000 = 130000 \cdot \frac{9-x}{\sqrt{(9-x)^2 + 36}} \] \[ \frac{5}{13} = \frac{9-x}{\sqrt{(9-x)^2 + 36}} \] \[ 5 \sqrt{(9-x)^2 + 36} = 13(9-x) \] \[ 25((9-x)^2 + 36) = 169(9-x)^2 \] \[ 25(81 - 18x + x^2 + 36) = 169(81 - 18x + x^2) \] \[ 25(117 - 18x + x^2) = 169(81 - 18x + x^2) \] \[ 2925 - 450x + 25x^2 = 13761 - 3042x + 169x^2 \] \[ 144x^2 - 2592x + 10836 = 0 \] \[ x^2 - 18x + 75 = 0 \] \[ (x-15)(x-3) = 0 \] \[ x = 15 \text{ hoặc } x = 3 \] 5. Kiểm tra điều kiện và chọn giá trị tối ưu: - \(x = 15\) không thỏa mãn vì \(x\) phải nằm trong khoảng [0, 9]. - \(x = 3\) thỏa mãn. 6. Kết luận: - Điểm M tối ưu là điểm cách A 3 km. Đáp số: Điểm M cách A 3 km.