..........

Câu 20. Để tìm tọa độ của điểm \( K(x; y; z) \) sao cho \( B \) là trọng tâm của tam giác \( ACK \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ACK \) được tính theo công thức: \[ G = \left( \frac{x_A + x_C + x_K}{3}, \frac{y_A + y_C + y_K}{3}, \frac{z_A + z_C + z_K}{3} \right) \] Vì \( B \) là trọng tâm của tam giác \( ACK \), nên tọa độ của \( B \) sẽ bằng tọa độ của trọng tâm \( G \): \[ B = \left( \frac{x_A + x_C + x_K}{3}, \frac{y_A + y_C + y_K}{3}, \frac{z_A + z_C + z_K}{3} \right) \] Thay tọa độ của các điểm \( A \), \( C \), và \( B \) vào công thức trên: \[ (2, -3, 2) = \left( \frac{0 + 4 + x}{3}, \frac{-1 - 2 + y}{3}, \frac{1 + 3 + z}{3} \right) \] Ta có ba phương trình: 1. \( 2 = \frac{4 + x}{3} \) 2. \( -3 = \frac{-3 + y}{3} \) 3. \( 2 = \frac{4 + z}{3} \) Giải từng phương trình: 1. \( 2 = \frac{4 + x}{3} \) Nhân cả hai vế với 3: \[ 6 = 4 + x \] \[ x = 2 \] 2. \( -3 = \frac{-3 + y}{3} \) Nhân cả hai vế với 3: \[ -9 = -3 + y \] \[ y = -6 \] 3. \( 2 = \frac{4 + z}{3} \) Nhân cả hai vế với 3: \[ 6 = 4 + z \] \[ z = 2 \] Vậy tọa độ của điểm \( K \) là \( (2, -6, 2) \). Cuối cùng, tính tổng \( x + y + z \): \[ x + y + z = 2 + (-6) + 2 = -2 \] Đáp số: \( x + y + z = -2 \). Câu 21. Điều kiện xác định: M nằm trên trục Oy nên \( x = 0 \) và \( z = 0 \). M cách đều A và B nên ta có: \[ MA = MB \] Ta tính khoảng cách từ M đến A và B: \[ MA = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2} \] \[ MB = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2} \] Thay \( x = 0 \) và \( z = 0 \) vào các biểu thức trên: \[ MA = \sqrt{(0 - 1)^2 + (y + 1)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1 + (y + 1)^2 + 1} = \sqrt{2 + (y + 1)^2} \] \[ MB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y + 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{4 + (y + 3)^2 + 4} = \sqrt{8 + (y + 3)^2} \] Vì \( MA = MB \), ta có: \[ \sqrt{2 + (y + 1)^2} = \sqrt{8 + (y + 3)^2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ 2 + (y + 1)^2 = 8 + (y + 3)^2 \] Phát triển các bình phương: \[ 2 + y^2 + 2y + 1 = 8 + y^2 + 6y + 9 \] Rút gọn: \[ 3 + y^2 + 2y = 17 + y^2 + 6y \] Loại bỏ \( y^2 \) ở cả hai vế: \[ 3 + 2y = 17 + 6y \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( y \) sang một vế: \[ 3 - 17 = 6y - 2y \] \[ -14 = 4y \] Giải cho \( y \): \[ y = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} \] Vậy tọa độ của điểm M là \( M(0; -\frac{7}{2}; 0) \). Tính \( x + 2y + z \): \[ x + 2y + z = 0 + 2 \left(-\frac{7}{2}\right) + 0 = -7 \] Đáp số: \( x + 2y + z = -7 \). Câu 22. Để tam giác ABM vuông cân tại A, ta cần tìm điểm M trên mặt phẳng (Oyz) sao cho AB = AM và AB vuông góc với AM. Trước tiên, ta tính vectơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = (7-4, 3+1, 2-2) = (3, 4, 0) \] Do M nằm trên mặt phẳng (Oyz), ta có \(a = 0\). Vậy M có dạng \(M(0, b, c)\). Tiếp theo, ta tính vectơ AM: \[ \overrightarrow{AM} = (0-4, b+1, c-2) = (-4, b+1, c-2) \] Để tam giác ABM vuông cân tại A, ta cần: \[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AM}| \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \] Tính độ dài của \(\overrightarrow{AB}\): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Tính độ dài của \(\overrightarrow{AM}\): \[ |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{(-4)^2 + (b+1)^2 + (c-2)^2} = \sqrt{16 + (b+1)^2 + (c-2)^2} \] Điều kiện \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AM}|\): \[ 5 = \sqrt{16 + (b+1)^2 + (c-2)^2} \] \[ 25 = 16 + (b+1)^2 + (c-2)^2 \] \[ (b+1)^2 + (c-2)^2 = 9 \quad \text{(1)} \] Điều kiện \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0\): \[ (3, 4, 0) \cdot (-4, b+1, c-2) = 0 \] \[ 3 \cdot (-4) + 4 \cdot (b+1) + 0 \cdot (c-2) = 0 \] \[ -12 + 4(b+1) = 0 \] \[ -12 + 4b + 4 = 0 \] \[ 4b - 8 = 0 \] \[ 4b = 8 \] \[ b = 2 \] Thay \(b = 2\) vào phương trình (1): \[ (2+1)^2 + (c-2)^2 = 9 \] \[ 3^2 + (c-2)^2 = 9 \] \[ 9 + (c-2)^2 = 9 \] \[ (c-2)^2 = 0 \] \[ c = 2 \] Vậy điểm M có tọa độ \(M(0, 2, 2)\). Cuối cùng, ta tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = 0 + 2 + 2 = 4 \] Đáp số: \(a + b + c = 4\). Câu 23. Để tính $\cos\widehat{ABC}$, ta cần tìm các vector $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vector $\overrightarrow{BA}$: \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (3 - (-5); -4 - 3; 7 - (-2)) = (8; -7; 9) \] Vector $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1 - (-5); 2 - 3; -3 - (-2)) = (6; -1; -1) \] Tiếp theo, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 8 \cdot 6 + (-7) \cdot (-1) + 9 \cdot (-1) = 48 + 7 - 9 = 46 \] Sau đó, ta tính độ dài của các vector $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$: \[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{8^2 + (-7)^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 49 + 81} = \sqrt{194} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{6^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1 + 1} = \sqrt{38} \] Bây giờ, ta tính $\cos\widehat{ABC}$: \[ \cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{46}{\sqrt{194} \cdot \sqrt{38}} = \frac{46}{\sqrt{7372}} \] Rút gọn $\sqrt{7372}$: \[ 7372 = 2^2 \times 1843 \Rightarrow \sqrt{7372} = 2\sqrt{1843} \] Do đó: \[ \cos\widehat{ABC} = \frac{46}{2\sqrt{1843}} = \frac{23}{\sqrt{1843}} \] Ta có $\cos\widehat{ABC} = \frac{23}{\sqrt{1843}}$, suy ra $m = 23$ và $n = 1843$. Từ đó, $m + n = 23 + 1843 = 1866$. Đáp số: $m + n = 1866$. Câu 24. Để tính \(a + b + 10c\), ta cần xác định tọa độ của điểm \(A'\). Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm \(D\) từ tọa độ của \(D'\): - \(D'\) có tọa độ \((2, -2, -3)\). - Vì \(D'\) là đỉnh đối diện của \(D\) trong hình hộp, nên tọa độ của \(D\) sẽ là \((2, -2, 3)\). Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm \(A'\) từ tọa độ của \(A\): - \(A\) có tọa độ \((1, 2, -1)\). - Vì \(A'\) là đỉnh đối diện của \(A\) trong hình hộp, nên tọa độ của \(A'\) sẽ là \((1, 2, 3)\). Do đó, \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = 3\). Tính \(a + b + 10c\): \[ a + b + 10c = 1 + 2 + 10 \times 3 = 1 + 2 + 30 = 33 \] Đáp số: \(a + b + 10c = 33\).