Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt đường thẳng AH tại D. Tia AB và tia CD cắt nhau tại E. a) Chứng minh BE/BA=DE/DC...

Phương Bảo Hưng

a) Chứng minh BE/BA = DE/DC

• Nhận xét: Ta thấy tam giác ABE và tam giác DCE có góc BAE = góc CDE = 90 độ (do AH vuông góc BC, BD vuông góc AB), góc BEA = góc DEC (đối đỉnh).
• Áp dụng định lý Ta-let: Trong tam giác ABE, có DE // AB (cùng vuông góc với AH) nên DE/BA = CE/EA.
• Tương tự: Trong tam giác DCE, có BE // DC (cùng vuông góc với AH) nên BE/DC = CE/EA.
• Từ đó: BE/BA = DE/DC (điều phải chứng minh)

b) Chứng minh EI = EK

• Nhận xét: Ta có EI // AC (gt) và EK // AC (gt) nên EI // EK.
• Áp dụng định lý Ta-let: Trong tam giác ADE, có EI // AC nên EI/AC = DE/DA.
• Tương tự: Trong tam giác BCD, có EK // AC nên EK/AC = BE/BC.
• Mà: DE/DA = BE/BC (chứng minh ở câu a)
• Suy ra: EI/AC = EK/AC => EI = EK.

c) Chứng minh NA = NC và PQ // BD

• Chứng minh NA = NC:Nhận xét: Tam giác ENH vuông tại H có NH là đường cao nên EN.NH = HN.HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
• Tương tự: Tam giác ANH vuông tại H có NH là đường cao nên AN.NH = HN.HA.
• Từ đó: EN.NH = AN.NH => EN = AN.
• Mà: EN = NC (do E là trung điểm của NC)
• Suy ra: NA = NC.
• Chứng minh PQ // BD:Nhận xét: Ta có PQ là đường trung bình của tam giác BND (do P là trung điểm của BN, Q là trung điểm của ND) nên PQ // BD.

d) Chứng minh GH // AC và PT vuông góc AD

• Chứng minh GH // AC:
• Nhận xét: Ta có GH là đường trung bình của tam giác ANC (do G là trung điểm của AQ, H là trung điểm của AN) nên GH // AC.
• 
  
• Chứng minh PT vuông góc AD:
• Nhận xét: Ta có PT // BD (do PQ // BD, T thuộc PT) mà BD vuông góc với AD nên PT vuông góc với AD.