làm hộ với ạp

Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một để xác định phương án đúng. (a) \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln x + 2025 \) Ta kiểm tra xem \( F(x) \) có phải là nguyên hàm của \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \) hay không: \[ F'(x) = \left( \frac{x^2}{2} + \ln x + 2025 \right)' = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x} = f(x) \] Vậy phương án (a) đúng. (b) Biết \( F(1) = \frac{3}{2} \), khi đó \( F(e) = \frac{e^2}{2} + 1 \) Chúng ta đã biết \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln x + C \). Ta cần tìm \( C \) từ điều kiện \( F(1) = \frac{3}{2} \): \[ F(1) = \frac{1^2}{2} + \ln 1 + C = \frac{1}{2} + 0 + C = \frac{3}{2} \] \[ C = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \] Do đó, \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln x + 1 \). Bây giờ, ta tính \( F(e) \): \[ F(e) = \frac{e^2}{2} + \ln e + 1 = \frac{e^2}{2} + 1 + 1 = \frac{e^2}{2} + 2 \] Phương án (b) sai vì \( F(e) = \frac{e^2}{2} + 2 \), không phải \( \frac{e^2}{2} + 1 \). (c) \( F(x) = f'(x), \forall x \in (0; +\infty) \) Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x} \] \[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \] Vì \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), nên \( F(x) \neq f'(x) \). Phương án (c) sai. (d) Biết rằng đồ thị của hàm số \( F(x) \) đi qua \( M(e; \frac{e^2}{2}) \), khi đó \( F(1) = \frac{1}{2} \) Chúng ta đã biết \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln x + C \). Ta cần tìm \( C \) từ điều kiện \( F(e) = \frac{e^2}{2} \): \[ F(e) = \frac{e^2}{2} + \ln e + C = \frac{e^2}{2} + 1 + C = \frac{e^2}{2} \] \[ C = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{2} - 1 = -1 \] Do đó, \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \ln x - 1 \). Bây giờ, ta tính \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{1^2}{2} + \ln 1 - 1 = \frac{1}{2} + 0 - 1 = -\frac{1}{2} \] Phương án (d) sai vì \( F(1) = -\frac{1}{2} \), không phải \( \frac{1}{2} \). Kết luận: Phương án đúng là (a). Câu 5. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau: Phần (a) Tìm $f(x)$ biết $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$ và $f(1) = 2$. 1. Tìm $f(x)$ từ $f'(x)$: \[ f(x) = \int \left(2x + \frac{1}{x^2}\right) dx = x^2 - \frac{1}{x} + C \] 2. Áp dụng điều kiện $f(1) = 2$: \[ f(1) = 1^2 - \frac{1}{1} + C = 2 \implies 1 - 1 + C = 2 \implies C = 2 \] Vậy: \[ f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 2 \] Phần (b) Tìm $f(x)$ biết $f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}$ và $f(1) = 0$. Sau đó, giải phương trình $f(x) = 0$. 1. Tìm $f(x)$ từ $f'(x)$: \[ f(x) = \int \left(2x + \frac{1}{x^2}\right) dx = x^2 - \frac{1}{x} + C \] 2. Áp dụng điều kiện $f(1) = 0$: \[ f(1) = 1^2 - \frac{1}{1} + C = 0 \implies 1 - 1 + C = 0 \implies C = 0 \] Vậy: \[ f(x) = x^2 - \frac{1}{x} \] 3. Giải phương trình $f(x) = 0$: \[ x^2 - \frac{1}{x} = 0 \implies x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1 \] Do đó, phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất là $x = 1$. Phần (c) Tìm $f(x)$ biết đồ thị hàm số $y = f(x)$ đi qua điểm $M(-1; 2)$. Sau đó, tính $f(2)$. 1. Tìm $f(x)$ từ $f'(x)$: \[ f(x) = \int \left(2x + \frac{1}{x^2}\right) dx = x^2 - \frac{1}{x} + C \] 2. Áp dụng điều kiện đồ thị đi qua điểm $M(-1; 2)$: \[ f(-1) = (-1)^2 - \frac{1}{-1} + C = 2 \implies 1 + 1 + C = 2 \implies C = 0 \] Vậy: \[ f(x) = x^2 - \frac{1}{x} \] 3. Tính $f(2)$: \[ f(2) = 2^2 - \frac{1}{2} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \] Phần (d) Tìm $f(x)$ biết $f(-2) = \frac{1}{4}$. Sau đó, xét hàm số $g(x) = xf(x)$ và tìm số điểm cực trị của nó. 1. Tìm $f(x)$ từ $f'(x)$: \[ f(x) = \int \left(2x + \frac{1}{x^2}\right) dx = x^2 - \frac{1}{x} + C \] 2. Áp dụng điều kiện $f(-2) = \frac{1}{4}$: \[ f(-2) = (-2)^2 - \frac{1}{-2} + C = \frac{1}{4} \implies 4 + \frac{1}{2} + C = \frac{1}{4} \implies 4 + \frac{2}{4} + C = \frac{1}{4} \implies 4 + \frac{2}{4} + C = \frac{1}{4} \implies 4 + \frac{2}{4} + C = \frac{1}{4} \implies C = \frac{1}{4} - 4 - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{16}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{17}{4} \] Vậy: \[ f(x) = x^2 - \frac{1}{x} - \frac{17}{4} \] 3. Xét hàm số $g(x) = xf(x)$: \[ g(x) = x \left(x^2 - \frac{1}{x} - \frac{17}{4}\right) = x^3 - 1 - \frac{17}{4}x \] 4. Tìm đạo hàm của $g(x)$: \[ g'(x) = 3x^2 - \frac{17}{4} \] 5. Tìm điểm cực trị của $g(x)$: \[ g'(x) = 0 \implies 3x^2 - \frac{17}{4} = 0 \implies 3x^2 = \frac{17}{4} \implies x^2 = \frac{17}{12} \implies x = \pm \sqrt{\frac{17}{12}} \] Do đó, hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực trị. Kết luận - Phần (a): Đúng, $f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 2$ - Phần (b): Sai, phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất là $x = 1$ - Phần (c): Sai, $f(2) = \frac{7}{2}$ - Phần (d): Sai, hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực trị Vậy đáp án đúng là: - Phần (a): Đúng - Phần (b): Sai - Phần (c): Sai - Phần (d): Sai Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm \( f'(x) = \frac{x + 1}{x^2} \). 2. Xác định các hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) dựa trên các điều kiện ban đầu. 3. Tính giá trị của \( f(-1) \) và \( f(4) \). Bước 1: Tìm hàm số \( f(x) \) Ta có: \[ f'(x) = \frac{x + 1}{x^2} = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \] Tích phân hai vế để tìm \( f(x) \): \[ f(x) = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x^2} dx \] \[ f(x) = \ln |x| - \frac{1}{x} + C \] Do đó, hàm số \( f(x) \) có dạng: \[ f(x) = \ln |x| - \frac{1}{x} + C \] Bước 2: Xác định các hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) Khi \( x > 0 \): \[ f(x) = \ln x - \frac{1}{x} + C_1 \] Khi \( x < 0 \): \[ f(x) = \ln (-x) - \frac{1}{x} + C_2 \] Dùng điều kiện \( f(-2) = \frac{3}{2} \): \[ f(-2) = \ln 2 + \frac{1}{2} + C_2 = \frac{3}{2} \] \[ \ln 2 + \frac{1}{2} + C_2 = \frac{3}{2} \] \[ C_2 = \frac{3}{2} - \ln 2 - \frac{1}{2} = 1 - \ln 2 \] Dùng điều kiện \( f(2) = 2 \ln 2 - \frac{3}{2} \): \[ f(2) = \ln 2 - \frac{1}{2} + C_1 = 2 \ln 2 - \frac{3}{2} \] \[ \ln 2 - \frac{1}{2} + C_1 = 2 \ln 2 - \frac{3}{2} \] \[ C_1 = 2 \ln 2 - \frac{3}{2} - \ln 2 + \frac{1}{2} = \ln 2 - 1 \] Bước 3: Tính giá trị của \( f(-1) \) và \( f(4) \) Tính \( f(-1) \): \[ f(-1) = \ln 1 + 1 + C_2 = 0 + 1 + (1 - \ln 2) = 2 - \ln 2 \] Tính \( f(4) \): \[ f(4) = \ln 4 - \frac{1}{4} + C_1 = 2 \ln 2 - \frac{1}{4} + (\ln 2 - 1) = 3 \ln 2 - \frac{1}{4} - 1 = 3 \ln 2 - \frac{5}{4} \] Kết luận - Hàm số \( f(x) \) có dạng: \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \ln x - \frac{1}{x} + \ln 2 - 1, & \text{khi } x > 0 \\ \ln (-x) - \frac{1}{x} + 1 - \ln 2, & \text{khi } x < 0 \end{array} \right. \] - Giá trị \( f(-1) = 2 - \ln 2 \) - Giá trị \( f(4) = 3 \ln 2 - \frac{5}{4} \) Đáp án đúng là: (c) Giá trị \( f(-1) = 2 - \ln 2 \) (d) Giá trị \( f(4) = 3 \ln 2 - \frac{5}{4} \) Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. Phần (a): Quãng đường đi được của vật sau 2 giây Phương trình vận tốc của vật là: \[ v(t) = t^2 - 2t + 1 \] Quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian từ 0 đến 2 giây là: \[ s(2) = \int_{0}^{2} v(t) \, dt = \int_{0}^{2} (t^2 - 2t + 1) \, dt \] Tính tích phân: \[ s(2) = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 + t \right]_{0}^{2} \] \[ s(2) = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 \right) \] \[ s(2) = \left( \frac{8}{3} - 4 + 2 \right) - 0 \] \[ s(2) = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3} \] Vậy quãng đường đi được của vật sau 2 giây là: \[ \frac{2}{3} \text{ m} \] Phần (b): Quãng đường vật đi được khi gia tốc bị triệt tiêu Gia tốc của vật là đạo hàm của vận tốc: \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 2t - 2 \] Gia tốc bị triệt tiêu khi: \[ 2t - 2 = 0 \] \[ t = 1 \] Quãng đường đi được của vật từ 0 đến 1 giây là: \[ s(1) = \int_{0}^{1} v(t) \, dt = \int_{0}^{1} (t^2 - 2t + 1) \, dt \] Tính tích phân: \[ s(1) = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 + t \right]_{0}^{1} \] \[ s(1) = \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 \right) \] \[ s(1) = \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - 0 \] \[ s(1) = \frac{1}{3} \] Vậy quãng đường vật đi được khi gia tốc bị triệt tiêu là: \[ \frac{1}{3} \text{ m} \] Phần (c): Quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến khi vận tốc đạt 9 m/s Vận tốc đạt 9 m/s khi: \[ t^2 - 2t + 1 = 9 \] \[ t^2 - 2t - 8 = 0 \] \[ (t - 4)(t + 2) = 0 \] \[ t = 4 \text{ hoặc } t = -2 \] Chọn \( t = 4 \) vì thời gian không thể âm. Quãng đường đi được của vật từ 2 giây đến 4 giây là: \[ s(4) - s(2) = \int_{2}^{4} v(t) \, dt = \int_{2}^{4} (t^2 - 2t + 1) \, dt \] Tính tích phân: \[ s(4) - s(2) = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 + t \right]_{2}^{4} \] \[ s(4) - s(2) = \left( \frac{4^3}{3} - 4^2 + 4 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \right) \] \[ s(4) - s(2) = \left( \frac{64}{3} - 16 + 4 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 + 2 \right) \] \[ s(4) - s(2) = \left( \frac{64}{3} - 12 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right) \] \[ s(4) - s(2) = \left( \frac{64}{3} - \frac{36}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) \] \[ s(4) - s(2) = \frac{28}{3} - \frac{2}{3} = \frac{26}{3} \] Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến khi vận tốc đạt 9 m/s là: \[ \frac{26}{3} \text{ m} \] Phần (d): Quãng đường vật đi được từ 0 giây đến thời gian mà gia tốc bằng 10 m/s² Gia tốc bằng 10 m/s² khi: \[ 2t - 2 = 10 \] \[ 2t = 12 \] \[ t = 6 \] Quãng đường đi được của vật từ 0 giây đến 6 giây là: \[ s(6) = \int_{0}^{6} v(t) \, dt = \int_{0}^{6} (t^2 - 2t + 1) \, dt \] Tính tích phân: \[ s(6) = \left[ \frac{t^3}{3} - t^2 + t \right]_{0}^{6} \] \[ s(6) = \left( \frac{6^3}{3} - 6^2 + 6 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 \right) \] \[ s(6) = \left( \frac{216}{3} - 36 + 6 \right) - 0 \] \[ s(6) = 72 - 36 + 6 = 42 \] Vậy quãng đường vật đi được từ 0 giây đến thời gian mà gia tốc bằng 10 m/s² là: \[ 42 \text{ m} \] Đáp án cuối cùng: (a) $\frac{2}{3} \text{ m}$ (b) $\frac{1}{3} \text{ m}$ (c) $\frac{26}{3} \text{ m}$ (d) $42 \text{ m}$