cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Qua G kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng đẳng thức BP / AP + CQ / AQ không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d

Ling 1. Tính chất của trọng tâm G:

Trọng tâm G của tam giác là điểm chung của ba đường trung tuyến. Một trong những tính chất

quan trọng của trọng tâm là nó chia mỗi đường trung tuyến của tam giác thành hai đoạn thẳng có

tỷ lệ 2:1, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn từ trọng tâm đến trung điểm

của cạnh đối diện. Tức là:

AG

BG

CG

AG

= 2 (tỷ lệ chia đoạn trong một đường trung tuyến).

2. Đặc điểm của đoạn thẳng d và tỷ lệ chia các cạnh

Đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC tại P và Q, tạo ra các đoạn thẳng

BP, AP, CQ, AQ.

Vì G là trọng tâm, ta có các tỷ lệ chia đoạn thẳng giữa các điểm trọng tâm và các điểm cắt trên

các cạnh.

3. Tỷ lệ chia đoạn thẳng trên các cạnh

Từ tính chất của trọng tâm và các đường thẳng cắt nhau trong tam giác, ta có thể sử dụng định lý

Ceva (định lý Ceva về tỷ lệ đoạn thẳng cắt nhau trong tam giác). Định lý Ceva cho biết rằng nếu ba

đoạn thẳng trong một tam giác cắt nhau tại một điểm, thì các tỷ lệ đoạn thẳng của chúng thỏa mãn

một đẳng thức cân bằng. Đối với tam giác ABC, ba đường thẳng AG, BG, CG cắt nhau tại G

theo tỷ lệ 2:1.

Do đó, qua điểm trọng tâm G, tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trên các cạnh của tam giác không phụ

thuộc vào vị trí của đường thẳng d, mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của G và tỷ lệ chia các đoạn thẳng

của tam giác

4. Áp dụng định lý Ceva

Theo định lý Ceva, tỷ lệ giữa các đoạn cắt tại PPP và QQQ có dạng:

BPAP×CQAQ×AGBG=1.\frac{BP}{AP} \times \frac{CQ}{AQ} \times \frac{AG}{BG} = 1.APBP​×AQCQ​×BGAG​=1.

Vì GGG là trọng tâm, AGBG=2\frac{AG}{BG} = 2BGAG​=2, do đó:

BPAP×CQAQ=12.\frac{BP}{AP} \times \frac{CQ}{AQ} = \frac{1}{2}.APBP​×AQCQ​=21​.

Vậy, tổng:

BPAP+CQAQ\frac{BP}{AP} + \frac{CQ}{AQ}APBP​+AQCQ​

không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng ddd, mà chỉ phụ thuộc vào tính chất của trọng tâm và tỷ lệ chia đoạn thẳng trong tam giác.

5. Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh rằng đẳng thức

BPAP+CQAQ\frac{BP}{AP} + \frac{CQ}{AQ}APBP​+AQCQ​

không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng ddd, mà chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của trọng tâm GGG trong tam giác.