sossddsdscshsjjs

Bài 1: Để tìm các phép toán tập hợp \( A \cap B \), \( A \cup B \), và \( A \setminus B \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tìm \( A \cap B \): - \( A \cap B \) là tập hợp các phần tử thuộc cả \( A \) và \( B \). - \( A = [-1; 4] \) bao gồm các số từ -1 đến 4 (bao gồm cả -1 và 4). - \( B = (2; +\infty) \) bao gồm các số lớn hơn 2 (không bao gồm 2). - Vậy \( A \cap B \) sẽ là các số từ 2 đến 4 (không bao gồm 2 nhưng bao gồm 4). Do đó, \( A \cap B = (2; 4] \). 2. Tìm \( A \cup B \): - \( A \cup B \) là tập hợp các phần tử thuộc \( A \) hoặc \( B \) hoặc cả hai. - \( A = [-1; 4] \) bao gồm các số từ -1 đến 4 (bao gồm cả -1 và 4). - \( B = (2; +\infty) \) bao gồm các số lớn hơn 2 (không bao gồm 2). - Vậy \( A \cup B \) sẽ là các số từ -1 đến vô cùng (bao gồm cả -1 nhưng không bao gồm 2). Do đó, \( A \cup B = [-1; +\infty) \). 3. Tìm \( A \setminus B \): - \( A \setminus B \) là tập hợp các phần tử thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \). - \( A = [-1; 4] \) bao gồm các số từ -1 đến 4 (bao gồm cả -1 và 4). - \( B = (2; +\infty) \) bao gồm các số lớn hơn 2 (không bao gồm 2). - Vậy \( A \setminus B \) sẽ là các số từ -1 đến 2 (bao gồm cả -1 và 2). Do đó, \( A \setminus B = [-1; 2] \). Kết luận: - \( A \cap B = (2; 4] \) - \( A \cup B = [-1; +\infty) \) - \( A \setminus B = [-1; 2] \) Bài 2: Trước tiên, ta sẽ vẽ sơ đồ minh họa cho bài toán: D /| / | / | h / | / | / | / | / | / | A---------C--------B 24 m Ta có: - $\widehat{CAD} = 63^\circ$ - $\widehat{CBD} = 48^\circ$ - $AB = 24$ m Ta cần tính chiều cao $h$ của tháp. Bước 1: Xác định các đoạn thẳng AC và BC Gọi $AC = x$ và $BC = y$. Ta có: \[ AB = AC + CB \] \[ 24 = x + y \] Bước 2: Áp dụng định lý sin trong tam giác CAD và CBD Trong tam giác CAD: \[ \frac{h}{\sin(63^\circ)} = \frac{x}{\sin(\widehat{ADC})} \] Trong tam giác CBD: \[ \frac{h}{\sin(48^\circ)} = \frac{y}{\sin(\widehat{BDC})} \] Bước 3: Xác định góc $\widehat{ADC}$ và $\widehat{BDC}$ Vì $\widehat{ADC}$ và $\widehat{BDC}$ là góc vuông, ta có: \[ \widehat{ADC} = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ \] \[ \widehat{BDC} = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ \] Bước 4: Thay các giá trị vào các phương trình \[ \frac{h}{\sin(63^\circ)} = \frac{x}{\sin(27^\circ)} \] \[ \frac{h}{\sin(48^\circ)} = \frac{y}{\sin(42^\circ)} \] Bước 5: Biểu diễn $x$ và $y$ theo $h$ \[ x = \frac{h \cdot \sin(27^\circ)}{\sin(63^\circ)} \] \[ y = \frac{h \cdot \sin(42^\circ)}{\sin(48^\circ)} \] Bước 6: Thay vào phương trình $24 = x + y$ \[ 24 = \frac{h \cdot \sin(27^\circ)}{\sin(63^\circ)} + \frac{h \cdot \sin(42^\circ)}{\sin(48^\circ)} \] Bước 7: Tính $h$ \[ 24 = h \left( \frac{\sin(27^\circ)}{\sin(63^\circ)} + \frac{\sin(42^\circ)}{\sin(48^\circ)} \right) \] Sử dụng máy tính để tính các giá trị sin: \[ \sin(27^\circ) \approx 0.454 \] \[ \sin(63^\circ) \approx 0.891 \] \[ \sin(42^\circ) \approx 0.669 \] \[ \sin(48^\circ) \approx 0.743 \] Thay vào: \[ 24 = h \left( \frac{0.454}{0.891} + \frac{0.669}{0.743} \right) \] \[ 24 = h \left( 0.509 + 0.900 \right) \] \[ 24 = h \times 1.409 \] \[ h = \frac{24}{1.409} \] \[ h \approx 17.03 \text{ m} \] Vậy chiều cao của tháp là: \[ \boxed{17.03 \text{ m}} \] Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và tối ưu hóa lợi nhuận dựa trên các ràng buộc về nguyên liệu và thời gian làm việc. Bước 1: Gọi số kg sản phẩm loại A là \( x \) và số kg sản phẩm loại B là \( y \). Bước 2: Xác định các điều kiện ràng buộc: - Số kg nguyên liệu: \( 2x + 4y \leq 200 \) - Thời gian làm việc: \( 30x + 15y \leq 50 \times 24 \) (vì 1 ngày có 24 giờ) Bước 3: Viết phương trình lợi nhuận: Lợi nhuận từ sản phẩm loại A là \( 40000x \) và từ sản phẩm loại B là \( 30000y \). Tổng lợi nhuận là: \[ P = 40000x + 30000y \] Bước 4: Giải hệ bất phương trình để tìm miền giải: \[ \begin{cases} 2x + 4y \leq 200 \\ 30x + 15y \leq 1200 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases} \] Bước 5: Tìm các đỉnh của miền giải: - Giao điểm của \( 2x + 4y = 200 \) và \( 30x + 15y = 1200 \): \[ \begin{cases} 2x + 4y = 200 \\ 30x + 15y = 1200 \end{cases} \] Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 15: \[ \begin{cases} 2x + 4y = 200 \\ 2x + y = 80 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ 3y = 120 \Rightarrow y = 40 \] Thay \( y = 40 \) vào \( 2x + y = 80 \): \[ 2x + 40 = 80 \Rightarrow 2x = 40 \Rightarrow x = 20 \] Vậy giao điểm là \( (20, 40) \). - Giao điểm của \( 2x + 4y = 200 \) và trục \( y \)-cắt ( \( x = 0 \) ): \[ 2(0) + 4y = 200 \Rightarrow y = 50 \] Vậy giao điểm là \( (0, 50) \). - Giao điểm của \( 30x + 15y = 1200 \) và trục \( x \)-cắt ( \( y = 0 \) ): \[ 30x + 15(0) = 1200 \Rightarrow 30x = 1200 \Rightarrow x = 40 \] Vậy giao điểm là \( (40, 0) \). Bước 6: Tính lợi nhuận tại các đỉnh của miền giải: - Tại \( (0, 50) \): \[ P = 40000(0) + 30000(50) = 1500000 \text{ đồng} \] - Tại \( (20, 40) \): \[ P = 40000(20) + 30000(40) = 800000 + 1200000 = 2000000 \text{ đồng} \] - Tại \( (40, 0) \): \[ P = 40000(40) + 30000(0) = 1600000 \text{ đồng} \] Bước 7: So sánh các giá trị lợi nhuận: - \( P(0, 50) = 1500000 \text{ đồng} \) - \( P(20, 40) = 2000000 \text{ đồng} \) - \( P(40, 0) = 1600000 \text{ đồng} \) Vậy lợi nhuận lớn nhất là 2000000 đồng, đạt được khi sản xuất 20 kg sản phẩm loại A và 40 kg sản phẩm loại B. Đáp số: Sản xuất 20 kg sản phẩm loại A và 40 kg sản phẩm loại B để có lợi nhuận lớn nhất là 2000000 đồng. Câu 4: a) Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh là: 20 + 16 - 12 = 24 (học sinh) b) Số học sinh không thích cả hai môn này là: 35 - 24 = 11 (học sinh) Đáp số: a) 24 học sinh b) 11 học sinh Câu 5. Trước tiên, ta cần xác định các thông tin đã cho và áp dụng các kiến thức về tam giác vuông và vectơ. 1. Xác định các thông tin đã cho: - Tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( B \). - \( \widehat{A} = 30^\circ \). - \( AB = a \). - \( I \) là trung điểm của \( AC \). 2. Tính độ dài các cạnh của tam giác \( \Delta ABC \): - Vì \( \Delta ABC \) là tam giác vuông tại \( B \) và \( \widehat{A} = 30^\circ \), nên \( \widehat{C} = 60^\circ \). - Trong tam giác vuông có góc \( 30^\circ \), cạnh đối diện với góc \( 30^\circ \) bằng một nửa cạnh huyền. Do đó: \[ BC = \frac{1}{2} AC \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong \( \Delta ABC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Thay \( AB = a \) và \( BC = \frac{1}{2} AC \): \[ AC^2 = a^2 + \left( \frac{1}{2} AC \right)^2 \] \[ AC^2 = a^2 + \frac{1}{4} AC^2 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 4AC^2 = 4a^2 + AC^2 \] \[ 3AC^2 = 4a^2 \] \[ AC^2 = \frac{4a^2}{3} \] \[ AC = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] 3. Tính độ dài \( BC \): \[ BC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] 4. Tính \( |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| \): - Ta biết rằng \( \overrightarrow{BA} \) và \( \overrightarrow{BC} \) là hai vectơ tạo thành góc \( 90^\circ \) (vì \( \Delta ABC \) vuông tại \( B \)). - Độ dài tổng của hai vectơ vuông góc với nhau được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{|\overrightarrow{BA}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2} \] - Thay \( |\overrightarrow{BA}| = a \) và \( |\overrightarrow{BC}| = \frac{a\sqrt{3}}{3} \): \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{a^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)^2} \] \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{a^2 + \frac{a^2 \cdot 3}{9}} \] \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{3}} \] \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{\frac{3a^2 + a^2}{3}} \] \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} \] \[ |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] Vậy, giá trị của \( |\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| \) là \( \frac{2a\sqrt{3}}{3} \). Câu 6. Trước tiên, ta cần phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Ta có: \[ \overrightarrow{BM} = 2 \overrightarrow{MC} \] Do đó: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MC} = 2 \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC} = 3 \overrightarrow{MC} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{MC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{BM} = 2 \overrightarrow{MC} = 2 \left( \frac{1}{3} \overrightarrow{BC} \right) = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} \] Bây giờ, ta viết vectơ $\overrightarrow{AM}$ dưới dạng tổng của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC} \] Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Thay vào ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} - \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{AM} = \left(1 - \frac{2}{3}\right) \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} \] Như vậy, ta đã tìm được: \[ k = \frac{1}{3} \] \[ h = \frac{2}{3} \] Bây giờ, ta tính $3k - 2h$: \[ 3k - 2h = 3 \left(\frac{1}{3}\right) - 2 \left(\frac{2}{3}\right) \] \[ 3k - 2h = 1 - \frac{4}{3} \] \[ 3k - 2h = \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \] \[ 3k - 2h = -\frac{1}{3} \] Vậy đáp án là: \[ 3k - 2h = -\frac{1}{3} \] Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số học sinh tham gia tiết mục hát. Bước 1: Xác định tổng số học sinh trong lớp và số học sinh không tham gia bất kỳ tiết mục nào. - Tổng số học sinh trong lớp: 45 học sinh. - Số học sinh không tham gia bất kỳ tiết mục nào: 4 học sinh (Kiệt, Hạ, Toàn, Thiện). Bước 2: Tính số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục. - Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục: 45 - 4 = 41 học sinh. Bước 3: Xác định số học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob và cả hai tiết mục. - Số học sinh tham gia tiết mục nhảy Flashmob: 35 học sinh. - Số học sinh tham gia cả hai tiết mục: 10 học sinh. Bước 4: Tính số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob. - Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob: 35 - 10 = 25 học sinh. Bước 5: Tính số học sinh tham gia tiết mục hát. - Số học sinh tham gia ít nhất một tiết mục: 41 học sinh. - Số học sinh chỉ tham gia tiết mục nhảy Flashmob: 25 học sinh. - Số học sinh tham gia cả hai tiết mục: 10 học sinh. - Số học sinh tham gia tiết mục hát: 41 - 25 = 16 học sinh. Vậy, số học sinh trong lớp tham gia tiết mục hát là 16 học sinh. Đáp số: 16 học sinh.