giúp vouws ạ

Câu 14: Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc $\alpha$ là góc tù, nghĩa là góc $\alpha$ nằm trong khoảng từ 90° đến 180°. - Tính chất của các hàm lượng giác trong góc tù: - $\sin \alpha > 0$: Vì trong góc tù, tọa độ y của điểm trên đường tròn đơn vị luôn dương. - $\cos \alpha < 0$: Vì trong góc tù, tọa độ x của điểm trên đường tròn đơn vị luôn âm. - $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$: Vì $\sin \alpha > 0$ và $\cos \alpha < 0$, nên thương của chúng sẽ là số âm. - $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} < 0$: Vì $\cos \alpha < 0$ và $\sin \alpha > 0$, nên thương của chúng cũng sẽ là số âm. Do đó, các khẳng định đúng là: - $\sin \alpha > 0$ - $\cos \alpha < 0$ - $\tan \alpha < 0$ - $\cot \alpha < 0$ Như vậy, trong các lựa chọn đã cho, khẳng định đúng là: D. $\cot \alpha < 0$. Câu 15: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một: A. $\cot(90^0 - \alpha) = -\tan\alpha$ Theo công thức lượng giác: \[ \cot(90^0 - \alpha) = \tan\alpha \] Do đó, khẳng định này sai vì $\cot(90^0 - \alpha)$ không bằng $-\tan\alpha$. B. $\cos(90^0 - \alpha) = \sin\alpha$ Theo công thức lượng giác: \[ \cos(90^0 - \alpha) = \sin\alpha \] Do đó, khẳng định này đúng. C. $\sin(90^0 - \alpha) = -\cos\alpha$ Theo công thức lượng giác: \[ \sin(90^0 - \alpha) = \cos\alpha \] Do đó, khẳng định này sai vì $\sin(90^0 - \alpha)$ không bằng $-\cos\alpha$. D. $\tan(90^0 - \alpha) = -\cot\alpha$ Theo công thức lượng giác: \[ \tan(90^0 - \alpha) = \cot\alpha \] Do đó, khẳng định này sai vì $\tan(90^0 - \alpha)$ không bằng $-\cot\alpha$. Vậy khẳng định đúng là: B. $\cos(90^0 - \alpha) = \sin\alpha$. Câu 16: Để tính giá trị của biểu thức \( E = 2\cos^2\alpha + 5\sin\alpha\cos\alpha + 1 \) khi biết \(\cot\alpha = 5\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\): - Biết rằng \(\cot\alpha = 5\), ta có \(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 5\). Điều này có nghĩa là \(\cos\alpha = 5\sin\alpha\). 2. Áp dụng công thức Pythagoras: - Ta có \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). - Thay \(\cos\alpha = 5\sin\alpha\) vào công thức trên: \[ \sin^2\alpha + (5\sin\alpha)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + 25\sin^2\alpha = 1 \] \[ 26\sin^2\alpha = 1 \] \[ \sin^2\alpha = \frac{1}{26} \] \[ \sin\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \] 3. Tìm giá trị của \(\cos\alpha\): - Nếu \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}\), thì \(\cos\alpha = 5\sin\alpha = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}\). - Nếu \(\sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}}\), thì \(\cos\alpha = 5\sin\alpha = 5 \cdot -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{5}{\sqrt{26}}\). 4. Thay giá trị của \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) vào biểu thức \(E\): - Ta chọn \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}\) và \(\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{26}}\) (vì \(\cot\alpha > 0\), nên \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) cùng dấu): \[ E = 2\cos^2\alpha + 5\sin\alpha\cos\alpha + 1 \] \[ E = 2\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right) + 1 \] \[ E = 2 \cdot \frac{25}{26} + 5 \cdot \frac{5}{26} + 1 \] \[ E = \frac{50}{26} + \frac{25}{26} + 1 \] \[ E = \frac{50 + 25}{26} + 1 \] \[ E = \frac{75}{26} + 1 \] \[ E = \frac{75}{26} + \frac{26}{26} \] \[ E = \frac{101}{26} \] Vậy giá trị của biểu thức \(E\) là \(\frac{101}{26}\). Đáp án đúng là: D. \(\frac{101}{26}\). Câu 17: Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức một để xác định công thức sai. A. $\frac{a}{\sin A} = 2R$ Công thức này đúng theo Định lý sin trong tam giác ABC: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \] Trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. B. $\sin C = \frac{c \sin A}{a}$ Công thức này cũng đúng theo Định lý sin: \[ \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \Rightarrow \sin C = \frac{c \sin A}{a} \] C. $\sin A = \frac{a}{2R}$ Công thức này đúng vì: \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{2R} \] D. $b \sin B = 2R$ Công thức này sai vì: \[ \frac{b}{\sin B} = 2R \Rightarrow b = 2R \sin B \Rightarrow b \sin B = 2R \sin^2 B \] Như vậy, $b \sin B$ không bằng $2R$ mà bằng $2R \sin^2 B$. Vậy công thức sai là: D. $b \sin B = 2R$. Câu 18: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là đúng. A. \( S = pR \) với \( p = \frac{a + b + c}{2} \) - Công thức này không đúng vì diện tích \( S \) của tam giác không được tính bằng \( pR \). Thay vào đó, công thức \( S = pr \) mới đúng, trong đó \( r \) là bán kính đường tròn nội tiếp. B. \( S = \frac{abc}{4r} \) - Công thức này cũng không đúng vì diện tích \( S \) của tam giác không được tính bằng \( \frac{abc}{4r} \). Thay vào đó, công thức \( S = \frac{abc}{4R} \) mới đúng, trong đó \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp. C. \( S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \) với \( p = \frac{a + b + c}{2} \) - Đây là công thức Heron, được sử dụng để tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh. Công thức này hoàn toàn đúng. D. \( S = \frac{1}{2} bc \cos A \) - Công thức này không đúng vì diện tích \( S \) của tam giác không được tính bằng \( \frac{1}{2} bc \cos A \). Thay vào đó, công thức \( S = \frac{1}{2} bc \sin A \) mới đúng. Vậy khẳng định đúng là: C. \( S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \) với \( p = \frac{a + b + c}{2} \) Đáp án: C. Câu 19: Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và góc giữa chúng: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) \] Trong đó: - \( AB = 8 \) - \( AC = 9 \) - \( A = 60^\circ \) Biết rằng \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ta thay các giá trị này vào công thức: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Tính toán tiếp: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \sqrt{3} \] Vậy diện tích tam giác ABC là: \[ S_{\Delta ABC} = 18 \sqrt{3} \text{ (đvdt)} \] Đáp án đúng là: A. \( S_{\Delta ABC} = 18 \sqrt{3} \text{ (đvdt)} \) Câu 20: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra xem tam giác ABC có thể là tam giác vuông hay không bằng cách sử dụng định lý Pythagoras. Ta có: \[ AC = 3\sqrt{3}, AB = 3, BC = 6 \] Ta tính: \[ AC^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27 \] \[ AB^2 = 3^2 = 9 \] \[ BC^2 = 6^2 = 36 \] Ta thấy rằng: \[ AC^2 + AB^2 = 27 + 9 = 36 = BC^2 \] Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Bây giờ, ta sẽ tính số đo góc B bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác của góc B trong tam giác vuông ABC. Ta có: \[ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ta biết rằng: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy: \[ B = 60^\circ \] Đáp án đúng là: A. $60^\circ$ Câu 21: Để tính diện tích tam giác có độ dài các cạnh là 13, 14 và 15, ta sử dụng công thức Heron. Bước 1: Tính nửa chu vi (p) của tam giác: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \] Bước 2: Áp dụng công thức Heron để tính diện tích (S): \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] \[ S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} \] \[ S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} \] \[ S = \sqrt{21 \times 336} \] \[ S = \sqrt{7056} \] \[ S = 84 \] Vậy diện tích tam giác là 84. Đáp án đúng là: D. 84. Câu 22: Để tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác \( \Delta ABC \) với các cạnh \( AB = 2 \), \( AC = 3 \), và \( BC = 4 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác \( \Delta ABC \): - Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác. - Đầu tiên, tính nửa chu vi \( p \): \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{2 + 3 + 4}{2} = 4.5 \] - Diện tích \( S \) của tam giác: \[ S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{4.5(4.5-2)(4.5-3)(4.5-4)} \] \[ S = \sqrt{4.5 \times 2.5 \times 1.5 \times 0.5} \] \[ S = \sqrt{4.5 \times 2.5 \times 1.5 \times 0.5} = \sqrt{8.4375} = \frac{3\sqrt{15}}{4} \] 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp \( r \): - Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) là: \[ r = \frac{S}{p} \] - Thay giá trị diện tích \( S \) và nửa chu vi \( p \) vào: \[ r = \frac{\frac{3\sqrt{15}}{4}}{4.5} = \frac{3\sqrt{15}}{4} \times \frac{2}{9} = \frac{\sqrt{15}}{6} \] Vậy đáp án đúng là: \[ r = \frac{\sqrt{15}}{6} \] Đáp án: A. \( r = \frac{\sqrt{15}}{6} \). Câu 23: Để kiểm tra từng khẳng định, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất cơ bản của véc-tơ. A. Hai véc-tơ cùng phương với một véc-tơ khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$ thì hai véc-tơ đó cùng phương. - Nếu hai véc-tơ cùng phương với một véc-tơ khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$, nghĩa là cả hai đều nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nó. Do đó, hai véc-tơ này cũng sẽ cùng phương. Khẳng định này đúng. B. Hai véc-tơ cùng hướng với một véc-tơ khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$ thì hai véc-tơ đó cùng hướng. - Nếu hai véc-tơ cùng hướng với một véc-tơ khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$, nghĩa là cả hai đều có cùng hướng với véc-tơ đó. Do đó, hai véc-tơ này cũng sẽ cùng hướng. Khẳng định này đúng. C. Hai véc-tơ ngược hướng với một véc-tơ khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$ thì hai véc-tơ đó ngược hướng. - Nếu hai véc-tơ ngược hướng với một véc-tơ khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$, nghĩa là cả hai đều có hướng ngược lại với véc-tơ đó. Do đó, hai véc-tơ này cũng sẽ ngược hướng. Khẳng định này đúng. D. Hai véc-tơ cùng bằng một véc-tơ thứ ba thì hai véc-tơ đó bằng nhau. - Nếu hai véc-tơ cùng bằng một véc-tơ thứ ba, nghĩa là cả hai đều có cùng độ dài và cùng hướng với véc-tơ thứ ba. Do đó, hai véc-tơ này cũng sẽ bằng nhau. Khẳng định này đúng. Tất cả các khẳng định A, B, C và D đều đúng theo các tính chất cơ bản của véc-tơ. Do đó, không có khẳng định nào sai trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có khẳng định sai. Câu 24: Trước tiên, ta sẽ xem xét từng mệnh đề một để xác định mệnh đề sai. A. Hai vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{CD}$: - Trong hình bình hành ABCD, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương vì chúng song song và có cùng chiều dài. - $\overrightarrow{MN}$ cũng là vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ vì M và N là trung điểm của AD và BC, do đó MN song song với AB và CD. B. Hai vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{DC}, \overrightarrow{MO}$: - $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ vì trong hình bình hành, AB và DC song song nhưng ngược chiều. - $\overrightarrow{MO}$ cũng không cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ vì O là tâm của hình bình hành, và MO không song song với AB. C. Hai vectơ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{OM}$: - $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ vì trong hình bình hành, AB và CD song song nhưng ngược chiều. - $\overrightarrow{OM}$ cũng ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ vì O là tâm của hình bình hành, và OM ngược chiều với AB. D. Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{DC}$: - $\overrightarrow{DC}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ vì trong hình bình hành, AB và DC song song và ngược chiều. - $\overrightarrow{OM}$ cũng là vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ vì O là tâm của hình bình hành, và OM ngược chiều với AB. Như vậy, mệnh đề B là mệnh đề sai vì $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{MO}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$. Đáp án: B. Câu 25: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều, trọng tâm G cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác. Trọng tâm G chia mỗi đường cao thành tỉ lệ 2:1, với phần gần đỉnh gấp đôi phần gần đáy. Bước 1: Xác định độ dài đường cao của tam giác đều ABC. - Tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng 60°. Đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC sẽ chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cân tại D (D là chân đường cao). Ta có: \[ AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Xác định vị trí của trọng tâm G. - Trọng tâm G chia đường cao AD thành tỉ lệ 2:1, tức là AG = \frac{2}{3}AD và GD = \frac{1}{3}AD. Do đó: \[ AG = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{AG}$ là: \[ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}} \]