Giải hệ phương trình:
$\begin{cases}
x^2 + y^2 = 25 \
x + y + xy = 7
\end{cases}$

Question

Accepted Answer

Để giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 25 \
x + y + xy = 7
\end{cases}
$$

Bước 1: Đặt $ S = x + y $ và $ P = xy $. Ta có:
$$
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = S^2 - 2P
$$
Từ phương trình đầu tiên, ta suy ra:
$$
S^2 - 2P = 25 \quad \text{(1)}
$$

Bước 2: Từ phương trình thứ hai, ta có:
$$
S + P = 7 \quad \text{(2)}
$$

Bước 3: Giải hệ phương trình (1) và (2):
Từ (2), ta suy ra:
$$
P = 7 - S
$$
Thay $ P = 7 - S $ vào (1), ta được:
$$
S^2 - 2(7 - S) = 25
$$
$$
S^2 - 14 + 2S = 25
$$
$$
S^2 + 2S - 39 = 0
$$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai $ S^2 + 2S - 39 = 0 $:
$$
S = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 156}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{10}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{10}
$$

Bước 5: Tìm $ P $ tương ứng:
- Nếu $ S = -1 + 2\sqrt{10} $, thì $ P = 7 - (-1 + 2\sqrt{10}) = 8 - 2\sqrt{10} $
- Nếu $ S = -1 - 2\sqrt{10} $, thì $ P = 7 - (-1 - 2\sqrt{10}) = 8 + 2\sqrt{10} $

Bước 6: Giải các phương trình bậc hai để tìm $ x $ và $ y $:
- Với $ S = -1 + 2\sqrt{10} $ và $ P = 8 - 2\sqrt{10} $:
$$
t^2 - (-1 + 2\sqrt{10})t + (8 - 2\sqrt{10}) = 0
$$
- Với $ S = -1 - 2\sqrt{10} $ và $ P = 8 + 2\sqrt{10} $:
$$
t^2 - (-1 - 2\sqrt{10})t + (8 + 2\sqrt{10}) = 0
$$

Bước 7: Kết luận các nghiệm của hệ phương trình:
- Các nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = \left( \frac{-1 + 2\sqrt{10} + \sqrt{(-1 + 2\sqrt{10})^2 - 4(8 - 2\sqrt{10})}}{2}, \frac{-1 + 2\sqrt{10} - \sqrt{(-1 + 2\sqrt{10})^2 - 4(8 - 2\sqrt{10})}}{2} \right)
$$
$$
(x, y) = \left( \frac{-1 - 2\sqrt{10} + \sqrt{(-1 - 2\sqrt{10})^2 - 4(8 + 2\sqrt{10})}}{2}, \frac{-1 - 2\sqrt{10} - \sqrt{(-1 - 2\sqrt{10})^2 - 4(8 + 2\sqrt{10})}}{2} \right)
$$