Giúp mình với!

Câu 1: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{x+1}{8-2} \), chúng ta cần kiểm tra điều kiện xác định của hàm số này. Trước hết, ta thấy rằng mẫu số của phân thức là \( 8 - 2 \). Ta tính: \[ 8 - 2 = 6 \] Mẫu số của phân thức là 6, một hằng số khác 0. Do đó, phân thức \( \frac{x+1}{6} \) luôn xác định với mọi giá trị của \( x \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \frac{x+1}{6} \) là tất cả các số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~D=\mathbb{R} \] Câu 2: Để giải bất phương trình \(2x^2 - 14x + 20 < 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Giải phương trình \(2x^2 - 14x + 20 = 0\): - Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] - Với \(a = 2\), \(b = -14\), và \(c = 20\), ta có: \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{4} = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{4} = \frac{14 \pm 6}{4} \] - Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{14 + 6}{4} = \frac{20}{4} = 5 \] \[ x_2 = \frac{14 - 6}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] 2. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình \(2x^2 - 14x + 20 < 0\): - Bất phương trình \(2x^2 - 14x + 20 < 0\) sẽ thỏa mãn giữa hai nghiệm \(x_1 = 5\) và \(x_2 = 2\). - Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là khoảng mở \((2, 5)\). Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x^2 - 14x + 20 < 0\) là: \[ D.~S=(2;5) \] Câu 3: Để xác định biểu thức nào trong các biểu thức đã cho là tam thức bậc hai, chúng ta cần kiểm tra xem biểu thức đó có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \). A. \( f(x) = x^3 + 2x - 1 \) Đây là một đa thức bậc ba vì lũy thừa cao nhất của \( x \) là 3. Do đó, nó không phải là tam thức bậc hai. B. \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) Đây là một đa thức bậc hai với \( a = 1 \), \( b = 3 \), và \( c = 2 \). Vì \( a \neq 0 \), nên đây là tam thức bậc hai. C. \( f(x) = 2x - 2 \) Đây là một đa thức bậc nhất vì lũy thừa cao nhất của \( x \) là 1. Do đó, nó không phải là tam thức bậc hai. D. \( f(z) = 0x^2 - 2x + 2 \) Biểu thức này có thể viết lại thành \( f(z) = -2x + 2 \). Đây là một đa thức bậc nhất vì lũy thừa cao nhất của \( x \) là 1. Do đó, nó không phải là tam thức bậc hai. Vậy, biểu thức nào trong các biểu thức đã cho là tam thức bậc hai là: \[ B.~f(x) = x^2 + 3x + 2 \] Câu 4: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(2x + y + 4 = 0\), ta cần hiểu rằng vectơ pháp tuyến là một vectơ vuông góc với mọi vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Đường thẳng có phương trình tổng quát dạng \(ax + by + c = 0\) thì một vectơ pháp tuyến của nó là \(\overrightarrow{n} = (a; b)\). Trong trường hợp này, phương trình đường thẳng là \(2x + y + 4 = 0\), do đó hệ số \(a = 2\) và \(b = 1\). Vì vậy, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là \(\overrightarrow{n} = (2; 1)\). Do đó, đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{B} = (2; 1)\) Câu 6: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( A(2;3) \) và có véc tơ chỉ phương \(\vec{u} = (5;2)\), ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] Trong đó \((x_0, y_0)\) là tọa độ của điểm mà đường thẳng đi qua, và \((a, b)\) là tọa độ của véc tơ chỉ phương. Áp dụng vào bài toán, ta có: - Điểm \( A(2;3) \) cho \( x_0 = 2 \) và \( y_0 = 3 \). - Véc tơ chỉ phương \(\vec{u} = (5;2)\) cho \( a = 5 \) và \( b = 2 \). Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 5t \\ y = 3 + 2t \end{array} \right. \] Do đó, đáp án đúng là A. Câu 6: Để xác định phương trình chính tắc của elip, ta cần nhớ rằng phương trình chính tắc của elip có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \] với \(a^2 > 0\) và \(b^2 > 0\). Bây giờ, ta sẽ xem xét từng phương trình trong các lựa chọn: A. \(\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{6} - 1\) - Đây không phải là phương trình của elip vì có dấu trừ giữa hai phân thức và không có dấu bằng 1. B. \(\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{6} = 1\) - Đây là phương trình chính tắc của elip với \(a^2 = 1\) và \(b^2 = 6\). Cả hai đều dương, và tổng của hai phân thức bằng 1. C. \(\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{1} - 1\) - Đây không phải là phương trình của elip vì không có dấu bằng 1. D. \(\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{1} - 1\) - Đây không phải là phương trình của elip vì có dấu trừ giữa hai phân thức và không có dấu bằng 1. Kết luận: Phương trình chính tắc của elip là phương trình B: \(\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{6} = 1\). Câu 7: Để tìm vecto chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần đưa phương trình tham số của đường thẳng về dạng chuẩn. Đường thẳng \(d\) được cho dưới dạng tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 2t \\ y = 4 + 3t \end{array} \right. \] Trong đó, \(t\) là tham số. Từ phương trình này, ta có thể thấy rằng: - Khi \(t\) thay đổi, \(x\) và \(y\) thay đổi theo \(t\). - Hệ số của \(t\) trong phương trình của \(x\) là \(-2\). - Hệ số của \(t\) trong phương trình của \(y\) là \(3\). Do đó, vecto chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{v} = (-2, 3)\). Vậy đáp án đúng là \(B.~\overrightarrow{z} = (-2, 3)\). Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng loại vé ngồi khác nhau mà người đó có thể lựa chọn. Có ba chuyến tàu: SES, SB7 và SE35. Trên mỗi tàu có 2 loại vé ngồi khác nhau: ngồi cứng hoặc ngồi mềm. Bây giờ, chúng ta sẽ tính số lượng loại vé ngồi khác nhau cho mỗi chuyến tàu: - Chuyến tàu SES có 2 loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. - Chuyến tàu SB7 có 2 loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. - Chuyến tàu SE35 có 2 loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. Vì vậy, tổng số loại vé ngồi khác nhau mà người đó có thể lựa chọn là: \[ 2 + 2 + 2 = 6 \] Do đó, đáp án đúng là: A. 6 Đáp số: 6 loại vé ngồi khác nhau. Câu 9: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về hoán vị (permutation). Hoán vị chập \( k \) của \( n \) phần tử, ký hiệu là \( P(n, k) \) hoặc \( A_n^k \), được tính bằng công thức: \[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \] Trong đó: - \( n! \) là giai thừa của \( n \) - \( (n-k)! \) là giai thừa của \( (n-k) \) Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \( A_n^k = \frac{n!}{2!} \) - Đáp án này sai vì công thức hoán vị chập \( k \) của \( n \) phần tử không phải là \( \frac{n!}{2!} \). B. \( A_n^k = \frac{n!}{(n+k)!} \) - Đáp án này sai vì công thức hoán vị chập \( k \) của \( n \) phần tử không phải là \( \frac{n!}{(n+k)!} \). C. \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \) - Đáp án này đúng vì nó chính là công thức hoán vị chập \( k \) của \( n \) phần tử. D. \( A_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Đáp án này sai vì công thức tổ hợp (combination) mới là \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \), còn hoán vị chập \( k \) của \( n \) phần tử không có \( k! \) ở mẫu số. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \] Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp toán học để tìm ra kết quả của biểu thức \((3+\sqrt{2})^n - (3-\sqrt{2})^n\). Bước 1: Kiểm tra trường hợp \(n = 1\): \[ (3+\sqrt{2})^1 - (3-\sqrt{2})^1 = (3+\sqrt{2}) - (3-\sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] Kết quả không đúng với bất kỳ đáp án nào trong đề bài, vì vậy chúng ta tiếp tục kiểm tra trường hợp \(n = 2\). Bước 2: Kiểm tra trường hợp \(n = 2\): \[ (3+\sqrt{2})^2 - (3-\sqrt{2})^2 \] Ta tính: \[ (3+\sqrt{2})^2 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2} \] \[ (3-\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2} \] Do đó: \[ (3+\sqrt{2})^2 - (3-\sqrt{2})^2 = (11 + 6\sqrt{2}) - (11 - 6\sqrt{2}) = 12\sqrt{2} \] Kết quả cũng không đúng với bất kỳ đáp án nào trong đề bài, vì vậy chúng ta tiếp tục kiểm tra trường hợp \(n = 3\). Bước 3: Kiểm tra trường hợp \(n = 3\): \[ (3+\sqrt{2})^3 - (3-\sqrt{2})^3 \] Ta tính: \[ (3+\sqrt{2})^3 = (3+\sqrt{2})(11+6\sqrt{2}) = 33 + 18\sqrt{2} + 11\sqrt{2} + 12 = 45 + 29\sqrt{2} \] \[ (3-\sqrt{2})^3 = (3-\sqrt{2})(11-6\sqrt{2}) = 33 - 18\sqrt{2} - 11\sqrt{2} + 12 = 45 - 29\sqrt{2} \] Do đó: \[ (3+\sqrt{2})^3 - (3-\sqrt{2})^3 = (45 + 29\sqrt{2}) - (45 - 29\sqrt{2}) = 58\sqrt{2} \] Kết quả cũng không đúng với bất kỳ đáp án nào trong đề bài, vì vậy chúng ta tiếp tục kiểm tra trường hợp \(n = 4\). Bước 4: Kiểm tra trường hợp \(n = 4\): \[ (3+\sqrt{2})^4 - (3-\sqrt{2})^4 \] Ta tính: \[ (3+\sqrt{2})^4 = (3+\sqrt{2})^2 \cdot (3+\sqrt{2})^2 = (11+6\sqrt{2}) \cdot (11+6\sqrt{2}) = 121 + 132\sqrt{2} + 72 = 193 + 132\sqrt{2} \] \[ (3-\sqrt{2})^4 = (3-\sqrt{2})^2 \cdot (3-\sqrt{2})^2 = (11-6\sqrt{2}) \cdot (11-6\sqrt{2}) = 121 - 132\sqrt{2} + 72 = 193 - 132\sqrt{2} \] Do đó: \[ (3+\sqrt{2})^4 - (3-\sqrt{2})^4 = (193 + 132\sqrt{2}) - (193 - 132\sqrt{2}) = 264\sqrt{2} \] Kết quả cũng không đúng với bất kỳ đáp án nào trong đề bài, vì vậy chúng ta tiếp tục kiểm tra trường hợp \(n = 5\). Bước 5: Kiểm tra trường hợp \(n = 5\): \[ (3+\sqrt{2})^5 - (3-\sqrt{2})^5 \] Ta tính: \[ (3+\sqrt{2})^5 = (3+\sqrt{2})^4 \cdot (3+\sqrt{2}) = (193+132\sqrt{2}) \cdot (3+\sqrt{2}) = 579 + 193\sqrt{2} + 396\sqrt{2} + 264 = 843 + 589\sqrt{2} \] \[ (3-\sqrt{2})^5 = (3-\sqrt{2})^4 \cdot (3-\sqrt{2}) = (193-132\sqrt{2}) \cdot (3-\sqrt{2}) = 579 - 193\sqrt{2} - 396\sqrt{2} + 264 = 843 - 589\sqrt{2} \] Do đó: \[ (3+\sqrt{2})^5 - (3-\sqrt{2})^5 = (843 + 589\sqrt{2}) - (843 - 589\sqrt{2}) = 1178\sqrt{2} \] Kết quả đúng với đáp án D. Vậy kết quả của phép tính \((3+\sqrt{2})^n - (3-\sqrt{2})^n\) là \(1178\sqrt{2}\). Đáp án: \(D.~1178\sqrt{2}\). Câu 11: Khi gieo một đồng xu cân đối liên tiếp hai lần, mỗi lần gieo có thể xuất hiện một trong hai mặt: mặt xấp (S) hoặc mặt ngửa (N). Do đó, ta có thể liệt kê tất cả các khả năng xảy ra như sau: 1. Lần đầu xuất hiện mặt xấp (S), lần thứ hai cũng xuất hiện mặt xấp (S): SS 2. Lần đầu xuất hiện mặt xấp (S), lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa (N): SN 3. Lần đầu xuất hiện mặt ngửa (N), lần thứ hai xuất hiện mặt xấp (S): NS 4. Lần đầu xuất hiện mặt ngửa (N), lần thứ hai cũng xuất hiện mặt ngửa (N): NN Như vậy, không gian mẫu của phép thử này bao gồm 4 trường hợp có thể xảy ra: \[ \Omega = \{SS, SN, NS, NN\} \] Do đó, không gian mẫu có 4 phần tử. Đáp án đúng là: C. 4 Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ. Bước 1: Tính tổng số cách chọn 2 bạn từ 45 bạn (25 nam + 20 nữ): Số cách chọn 2 bạn từ 45 bạn là: \[ C_{45}^{2} = \frac{45 \times 44}{2 \times 1} = 990 \] Bước 2: Tính số cách chọn 2 bạn toàn nam: Số cách chọn 2 bạn nam từ 25 bạn nam là: \[ C_{25}^{2} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1} = 300 \] Bước 3: Tính số cách chọn 2 bạn toàn nữ: Số cách chọn 2 bạn nữ từ 20 bạn nữ là: \[ C_{20}^{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] Bước 4: Tính số cách chọn 2 bạn sao cho có cả nam và nữ: Số cách chọn 2 bạn sao cho có cả nam và nữ là: \[ 990 - 300 - 190 = 500 \] Vậy số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là 500. Đáp án: 500