Chứng minh bất đẳng thức: Với mọi $x > 0$, ta có: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1+x^2} \ge \dfrac{3}{2}$

Để chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1+x^2} \ge \dfrac{3}{2}$ với mọi $x > 0$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét biểu thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1+x^2}$. Bước 2: Ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi đại số để chứng minh bất đẳng thức này. Bước 3: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $x(1+x^2)$ để loại bỏ mẫu số: \[ x(1+x^2) \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1+x^2} \right) \ge x(1+x^2) \cdot \dfrac{3}{2}. \] Bước 4: Rút gọn vế trái: \[ (1+x^2) + x \ge \dfrac{3}{2} x(1+x^2). \] Bước 5: Biến đổi vế phải: \[ (1+x^2) + x \ge \dfrac{3}{2} x + \dfrac{3}{2} x^3. \] Bước 6: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ (1+x^2) + x - \dfrac{3}{2} x - \dfrac{3}{2} x^3 \ge 0. \] Bước 7: Gom nhóm các hạng tử: \[ 1 + x^2 + x - \dfrac{3}{2} x - \dfrac{3}{2} x^3 \ge 0. \] Bước 8: Đơn giản hóa: \[ 1 + x^2 - \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} x^3 \ge 0. \] Bước 9: Ta sẽ chứng minh rằng biểu thức $1 + x^2 - \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} x^3$ luôn dương với mọi $x > 0$. Bước 10: Xét đạo hàm của biểu thức $f(x) = 1 + x^2 - \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} x^3$: \[ f'(x) = 2x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{9}{2} x^2. \] Bước 11: Tìm nghiệm của $f'(x) = 0$: \[ 2x - \dfrac{1}{2} - \dfrac{9}{2} x^2 = 0. \] \[ 4x - 1 - 9x^2 = 0. \] \[ 9x^2 - 4x + 1 = 0. \] Bước 12: Giải phương trình bậc hai: \[ x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{18} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-20}}{18}. \] Vì phương trình vô nghiệm thực, nên $f(x)$ không có điểm cực trị trong miền $x > 0$. Do đó, $f(x)$ luôn dương với mọi $x > 0$. Bước 13: Kết luận: \[ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1+x^2} \ge \dfrac{3}{2} \text{ với mọi } x > 0. \] Điều này hoàn tất chứng minh.