Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy,$ cho $A\left(1;1\right),B\left(4;6\right),C\left(7;3\right).$ Các mệnh đề sau đúng hay sai? a, Ta có $\vec{AC}$ và $\vec{BC}$ cùng phương. b, Cosin góc giữa hai vect...

Câu 3: Để xác định đúng hay sai của các mệnh đề, ta cần thực hiện các bước tính toán sau: a, Ta có $\vec{AC}$ và $\vec{BC}$ cùng phương. - Tính tọa độ của các vector: \[ \vec{AC} = (7 - 1, 3 - 1) = (6, 2) \] \[ \vec{BC} = (7 - 4, 3 - 6) = (3, -3) \] - Kiểm tra điều kiện cùng phương: Hai vector $\vec{u} = (x_1, y_1)$ và $\vec{v} = (x_2, y_2)$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$. \[ \frac{6}{3} = 2 \quad \text{và} \quad \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \] - Vì $\frac{6}{3} \neq \frac{2}{-3}$, nên $\vec{AC}$ và $\vec{BC}$ không cùng phương. Kết luận: Sai. b, Cosin góc giữa hai vector $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ bằng $\frac{47}{5\sqrt{106}}.$ - Tính tọa độ của các vector: \[ \vec{AB} = (4 - 1, 6 - 1) = (3, 5) \] \[ \vec{AC} = (6, 2) \] - Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 6 + 5 \cdot 2 = 18 + 10 = 28 \] - Tính độ dài của các vector: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \] \[ |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \] - Tính cosin góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{28}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{40}} = \frac{28}{\sqrt{1360}} \] - Đơn giản hóa: \[ \sqrt{1360} = \sqrt{4 \cdot 340} = 2\sqrt{340} = 2\sqrt{4 \cdot 85} = 4\sqrt{85} \] \[ \cos \theta = \frac{28}{4\sqrt{85}} = \frac{7}{\sqrt{85}} \] - So sánh với $\frac{47}{5\sqrt{106}}$: \[ \frac{7}{\sqrt{85}} \neq \frac{47}{5\sqrt{106}} \] Kết luận: Sai. c, Ta có $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=22.$ - Như đã tính ở trên: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 28 \] Kết luận: Sai. d, Ta có $AC=\sqrt{37}.$ - Như đã tính ở trên: \[ |\vec{AC}| = \sqrt{40} \] Kết luận: Sai. Tóm lại, tất cả các mệnh đề a, b, c, d đều sai.