Gia đình nhà Chí và Minh thường luyện viết văn. Năm trước, mỗi người nhà Chí viết được \[4\] bài luận, mỗi người nhà Minh viết được \[6\] bài luận và cả hai gia đình viết được tổng cộng \[100\] bài...

Gọi số người nhà Chí là a, số người nhà Minh là b. Năm trước, mỗi người nhà Chí viết được 4 bài luận, mỗi người nhà Minh viết được 6 bài luận và cả hai gia đình viết được tổng cộng 100 bài luận. Ta có phương trình: \[ 4a + 6b = 100 \] Năm nay, mỗi người nhà Chí viết được 8 bài luận, mỗi người nhà Minh viết được 12 bài luận và cả hai nhà viết được tổng cộng 200 bài luận. Ta có phương trình: \[ 8a + 12b = 200 \] Chúng ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 4a + 6b = 100 \\ 8a + 12b = 200 \end{cases} \] Chúng ta thấy rằng phương trình thứ hai là phương trình thứ nhất nhân đôi. Do đó, chúng ta chỉ cần giải phương trình đầu tiên: \[ 4a + 6b = 100 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ 2a + 3b = 50 \] Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị của a và b để tìm ra các giá trị thỏa mãn phương trình này. - Nếu a = 1, thì 2(1) + 3b = 50, suy ra 3b = 48, suy ra b = 16. - Nếu a = 2, thì 2(2) + 3b = 50, suy ra 3b = 46, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 3, thì 2(3) + 3b = 50, suy ra 3b = 44, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 4, thì 2(4) + 3b = 50, suy ra 3b = 42, suy ra b = 14. - Nếu a = 5, thì 2(5) + 3b = 50, suy ra 3b = 40, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 6, thì 2(6) + 3b = 50, suy ra 3b = 38, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 7, thì 2(7) + 3b = 50, suy ra 3b = 36, suy ra b = 12. - Nếu a = 8, thì 2(8) + 3b = 50, suy ra 3b = 34, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 9, thì 2(9) + 3b = 50, suy ra 3b = 32, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 10, thì 2(10) + 3b = 50, suy ra 3b = 30, suy ra b = 10. - Nếu a = 11, thì 2(11) + 3b = 50, suy ra 3b = 28, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 12, thì 2(12) + 3b = 50, suy ra 3b = 26, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 13, thì 2(13) + 3b = 50, suy ra 3b = 24, suy ra b = 8. - Nếu a = 14, thì 2(14) + 3b = 50, suy ra 3b = 22, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 15, thì 2(15) + 3b = 50, suy ra 3b = 20, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 16, thì 2(16) + 3b = 50, suy ra 3b = 18, suy ra b = 6. - Nếu a = 17, thì 2(17) + 3b = 50, suy ra 3b = 16, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 18, thì 2(18) + 3b = 50, suy ra 3b = 14, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 19, thì 2(19) + 3b = 50, suy ra 3b = 12, suy ra b = 4. - Nếu a = 20, thì 2(20) + 3b = 50, suy ra 3b = 10, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 21, thì 2(21) + 3b = 50, suy ra 3b = 8, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 22, thì 2(22) + 3b = 50, suy ra 3b = 6, suy ra b = 2. - Nếu a = 23, thì 2(23) + 3b = 50, suy ra 3b = 4, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 24, thì 2(24) + 3b = 50, suy ra 3b = 2, suy ra b không là số nguyên. - Nếu a = 25, thì 2(25) + 3b = 50, suy ra 3b = 0, suy ra b = 0. Như vậy, các cặp giá trị (a, b) thỏa mãn phương trình là (1, 16), (4, 14), (7, 12), (10, 10), (13, 8), (16, 6), (19, 4), (22, 2). Tuy nhiên, vì số người trong một gia đình không thể quá lớn, nên ta chọn các giá trị hợp lý nhất là (10, 10). Vậy nhà Chí có 10 người và nhà Minh có 10 người.