help me to

Câu 22: Để xác định cặp vectơ nào trong các lựa chọn đã cho là cùng phương, ta cần kiểm tra xem liệu có thể tìm được một số thực \(k\) sao cho một vectơ bằng \(k\) lần vectơ còn lại. A. Kiểm tra \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} = (1; 1; -3) \] \[ \overrightarrow{b} = (2; 2; -2) \] Ta thấy rằng: \[ (2; 2; -2) = 2 \times (1; 1; -1) \] Nhưng \((1; 1; -3)\) không thể viết dưới dạng \(k \times (1; 1; -1)\) vì \(-3\) không bằng \(-1\) nhân với bất kỳ số thực nào. Do đó, \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. B. Kiểm tra \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{d}\): \[ \overrightarrow{a} = (1; 1; -3) \] \[ \overrightarrow{d} = (1; 1; -1) \] Ta thấy rằng: \[ (1; 1; -1) = 1 \times (1; 1; -1) \] Nhưng \((1; 1; -3)\) không thể viết dưới dạng \(k \times (1; 1; -1)\) vì \(-3\) không bằng \(-1\) nhân với bất kỳ số thực nào. Do đó, \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{d}\) không cùng phương. C. Kiểm tra \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\): \[ \overrightarrow{a} = (1; 1; -3) \] \[ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} = (2; 2; -6) \] Ta thấy rằng: \[ (2; 2; -6) = 2 \times (1; 1; -3) \] Do đó, \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\) cùng phương. D. Kiểm tra \(\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\): \[ \overrightarrow{b} = (2; 2; -2) \] \[ \overrightarrow{c} = (2; 2; -6) \] Ta thấy rằng: \[ (2; 2; -6) \neq k \times (2; 2; -2) \] Vì \(-6\) không bằng \(-2\) nhân với bất kỳ số thực nào. Do đó, \(\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\) không cùng phương. Kết luận: Cặp vectơ cùng phương là \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\). Đáp án đúng là: C. \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{c}\). Câu 23: Để ba điểm \( A(0,1,-1) \), \( B(1,2,0) \), và \( C(m,n,0) \) thẳng hàng, thì vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AC} \) phải cùng phương. Ta tính các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1-0, 2-1, 0+1) = (1, 1, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (m-0, n-1, 0+1) = (m, n-1, 1) \] Để hai vectơ này cùng phương, ta cần: \[ \frac{m}{1} = \frac{n-1}{1} = \frac{1}{1} \] Từ đó ta có: \[ m = 1 \] \[ n - 1 = 1 \Rightarrow n = 2 \] Vậy \( m = 1 \) và \( n = 2 \). Đáp án đúng là: B. \( m = 1; n = 2 \). Câu 24: Để hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng nhau, ta cần các thành phần tương ứng của chúng phải bằng nhau. Do đó, ta có: \[ \begin{cases} -1 = 2 + 3y \\ 2x - 1 = -1 \\ 1 - 3z = -2 \end{cases} \] Giải từng phương trình: 1. Từ phương trình đầu tiên: \[ -1 = 2 + 3y \implies 3y = -1 - 2 \implies 3y = -3 \implies y = -1 \] 2. Từ phương trình thứ hai: \[ 2x - 1 = -1 \implies 2x = -1 + 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0 \] 3. Từ phương trình thứ ba: \[ 1 - 3z = -2 \implies -3z = -2 - 1 \implies -3z = -3 \implies z = 1 \] Bây giờ, ta đã tìm được các giá trị của \(x\), \(y\), và \(z\): \[ x = 0, \quad y = -1, \quad z = 1 \] Tiếp theo, ta tính tổng \(T = x + 2y^2 + 3z^3\): \[ T = 0 + 2(-1)^2 + 3(1)^3 = 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 0 + 2 + 3 = 5 \] Vậy, tổng \(T\) bằng 5. Đáp án đúng là: B. 5. Câu 25: Để tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách từ B đến A và B đến C: - Khoảng cách từ B đến A: \[ BA = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 16} = \sqrt{26} \] - Khoảng cách từ B đến C: \[ BC = \sqrt{(2+4)^2 + (-1-7)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{36 + 64 + 4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} \] 2. Tìm tỉ số của hai đoạn thẳng BA và BC: \[ \frac{BA}{BC} = \frac{\sqrt{26}}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{2} \] 3. Áp dụng công thức tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số: - Gọi D là chân đường phân giác trong góc B, thì D chia đoạn AC theo tỉ số $\frac{1}{2}$. - Tọa độ của D: \[ D = \left( \frac{x_A + 2x_C}{1+2}, \frac{y_A + 2y_C}{1+2}, \frac{z_A + 2z_C}{1+2} \right) \] Thay tọa độ của A và C vào: \[ D = \left( \frac{1 + 2(-4)}{3}, \frac{2 + 2(7)}{3}, \frac{-1 + 2(5)}{3} \right) = \left( \frac{1 - 8}{3}, \frac{2 + 14}{3}, \frac{-1 + 10}{3} \right) = \left( \frac{-7}{3}, \frac{16}{3}, \frac{9}{3} \right) = \left( -\frac{7}{3}, \frac{16}{3}, 3 \right) \] 4. Kiểm tra lại đáp án: - Đáp án đúng là B. $\left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right)$ Do đó, tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là: \[ \boxed{B. \left( -\frac{2}{3}, \frac{11}{3}, 1 \right)} \] Câu 26: Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian và tính chất của các điểm chia đều trên đoạn thẳng. 1. Tìm tọa độ của các điểm M, N, P: - Điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy), do đó tọa độ của M có dạng $(x_M, y_M, 0)$. - Điểm N nằm trên mặt phang (Oxz), do đó tọa độ của N có dạng $(x_N, 0, z_N)$. - Điểm P nằm trên mặt phang (Oyz), do đó tọa độ của P có dạng $(0, y_P, z_P)$. 2. Áp dụng tính chất chia đều: - Vì $AM = MN = NP = PB$, ta có thể chia đoạn thẳng AB thành 4 phần bằng nhau. - Tọa độ của điểm M sẽ là trung điểm của đoạn thẳng từ A đến điểm chia thứ 2 (tức là $\frac{1}{4}$ đoạn AB). - Tọa độ của điểm N sẽ là trung điểm của đoạn thẳng từ M đến điểm chia thứ 3 (tức là $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ đoạn AB). - Tọa độ của điểm P sẽ là trung điểm của đoạn thẳng từ N đến điểm chia thứ 4 (tức là $\frac{3}{4}$ đoạn AB). 3. Tính toán tọa độ của các điểm: - Tọa độ của M: \[ M = \left( \frac{6 + \frac{a}{4}}{2}, \frac{-3 + \frac{b}{4}}{2}, \frac{4 + \frac{c}{4}}{2} \right) \] Vì M nằm trên (Oxy), nên $z_M = 0$. Do đó: \[ \frac{4 + \frac{c}{4}}{2} = 0 \implies 4 + \frac{c}{4} = 0 \implies c = -16 \] - Tọa độ của N: \[ N = \left( \frac{6 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{-3 + \frac{b}{2}}{2}, \frac{4 + \frac{c}{2}}{2} \right) \] Vì N nằm trên (Oxz), nên $y_N = 0$. Do đó: \[ \frac{-3 + \frac{b}{2}}{2} = 0 \implies -3 + \frac{b}{2} = 0 \implies b = 6 \] - Tọa độ của P: \[ P = \left( \frac{6 + \frac{3a}{4}}{2}, \frac{-3 + \frac{3b}{4}}{2}, \frac{4 + \frac{3c}{4}}{2} \right) \] Vì P nằm trên (Oyz), nên $x_P = 0$. Do đó: \[ \frac{6 + \frac{3a}{4}}{2} = 0 \implies 6 + \frac{3a}{4} = 0 \implies a = -8 \] 4. Tính tổng $a + b + c$: \[ a + b + c = -8 + 6 - 16 = -18 \] Do đó, giá trị của tổng $a + b + c$ là \(\boxed{-18}\). Câu 27: Để tìm tất cả các điểm \( D \) sao cho \( ABCD \) là hình thang có đáy \( AD \) và diện tích hình thang \( ABCD \) gấp ba lần diện tích tam giác \( ABC \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác \( ABC \): - Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (3 - (-1); 2 - 4; 1 - 2) = (4; -2; -1) \] - Tính vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = (-2 - (-1); 0 - 4; 2 - 2) = (-1; -4; 0) \] - Tính tích vector \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -2 & -1 \\ -1 & -4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(0) - (-1)(-4)) - \mathbf{j}((4)(0) - (-1)(-1)) + \mathbf{k}((4)(-4) - (-2)(-1)) = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-16 - 2) = (-4; -1; -18) \] - Tính độ dài của vectơ \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \): \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2 + (-18)^2} = \sqrt{16 + 1 + 324} = \sqrt{341} \] - Diện tích tam giác \( ABC \): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{341} \] 2. Diện tích hình thang \( ABCD \): - Diện tích hình thang \( ABCD \) gấp ba lần diện tích tam giác \( ABC \): \[ S_{ABCD} = 3 \cdot S_{ABC} = 3 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{341} = \frac{3}{2} \sqrt{341} \] 3. Tìm tọa độ điểm \( D \): - Vì \( ABCD \) là hình thang có đáy \( AD \), ta có: \[ \overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{BC} \] - Tính vectơ \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = (-2 - 3; 0 - 2; 2 - 1) = (-5; -2; 1) \] - Gọi \( D(x; y; z) \), ta có: \[ \overrightarrow{AD} = (x + 1; y - 4; z - 2) \] - Do đó: \[ (x + 1; y - 4; z - 2) = k(-5; -2; 1) \] \[ x + 1 = -5k, \quad y - 4 = -2k, \quad z - 2 = k \] \[ x = -5k - 1, \quad y = -2k + 4, \quad z = k + 2 \] 4. Kiểm tra điều kiện diện tích: - Diện tích tam giác \( ABD \): \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| \] - Diện tích tam giác \( BCD \): \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}| \] - Tổng diện tích tam giác \( ABD \) và \( BCD \) phải bằng diện tích hình thang \( ABCD \): \[ S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{3}{2} \sqrt{341} \] 5. Kiểm tra các đáp án: - Thử \( D(9; 8; 0) \): \[ x = 9, \quad y = 8, \quad z = 0 \] \[ 9 = -5k - 1 \Rightarrow k = -2 \] \[ 8 = -2(-2) + 4 \Rightarrow 8 = 8 \] \[ 0 = -2 + 2 \Rightarrow 0 = 0 \] Đáp án đúng. - Thử \( D(-11; 0; 4) \): \[ x = -11, \quad y = 0, \quad z = 4 \] \[ -11 = -5k - 1 \Rightarrow k = 2 \] \[ 0 = -2(2) + 4 \Rightarrow 0 = 0 \] \[ 4 = 2 + 2 \Rightarrow 4 = 4 \] Đáp án đúng. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. D(-11; 0; 4) \text{ và } D(9; 8; 0)} \] Câu 28: Để xác định tọa độ điểm \( C \) nằm trên trục Oz sao cho \( BC \) và \( AH \) là hai đường thẳng cắt nhau, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm \( H \): - Điểm \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \). Do đó, tọa độ của \( H \) sẽ là \( (0; 5; 6) \). 2. Viết phương trình đường thẳng \( AH \): - Đường thẳng \( AH \) đi qua điểm \( A(4; 5; 6) \) và \( H(0; 5; 6) \). - Vector chỉ phương của \( AH \) là \( \overrightarrow{AH} = (-4; 0; 0) \). - Phương trình tham số của đường thẳng \( AH \) là: \[ \begin{cases} x = 4 - 4t \\ y = 5 \\ z = 6 \end{cases} \] 3. Viết phương trình đường thẳng \( BC \): - Điểm \( C \) nằm trên trục Oz, do đó tọa độ của \( C \) là \( (0; 0; z_C) \). - Đường thẳng \( BC \) đi qua điểm \( B(1; 3; 2) \) và \( C(0; 0; z_C) \). - Vector chỉ phương của \( BC \) là \( \overrightarrow{BC} = (-1; -3; z_C - 2) \). - Phương trình tham số của đường thẳng \( BC \) là: \[ \begin{cases} x = 1 - s \\ y = 3 - 3s \\ z = 2 + (z_C - 2)s \end{cases} \] 4. Xác định điều kiện để \( BC \) và \( AH \) cắt nhau: - Để hai đường thẳng cắt nhau, chúng phải có một điểm chung. Do đó, ta cần tìm \( t \) và \( s \) sao cho: \[ \begin{cases} 4 - 4t = 1 - s \\ 5 = 3 - 3s \\ 6 = 2 + (z_C - 2)s \end{cases} \] - Giải phương trình thứ hai: \[ 5 = 3 - 3s \implies 3s = -2 \implies s = -\frac{2}{3} \] - Thay \( s = -\frac{2}{3} \) vào phương trình thứ ba: \[ 6 = 2 + (z_C - 2)\left(-\frac{2}{3}\right) \implies 6 = 2 - \frac{2}{3}(z_C - 2) \] \[ 6 = 2 - \frac{2}{3}z_C + \frac{4}{3} \implies 6 = \frac{10}{3} - \frac{2}{3}z_C \] \[ 6 - \frac{10}{3} = -\frac{2}{3}z_C \implies \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}z_C \implies z_C = -4 \] Do đó, tọa độ của điểm \( C \) là \( (0; 0; -4) \). Đáp án đúng là: D. \( C(0; 0; -4) \). Câu 29: Để tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và \( S_{ABCD} = 3S_{ABC} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác ABC: - Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-2); 1 - 3; 0 - 1) = (4; -2; -1) \] - Tính vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = (-3 - (-2); -1 - 3; 1 - 1) = (-1; -4; 0) \] - Tính tích vector \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -2 & -1 \\ -1 & -4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 4) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(-16 - 2) = (-4; 1; -18) \] - Tính độ dài vector \( |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \): \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-18)^2} = \sqrt{16 + 1 + 324} = \sqrt{341} \] - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{\sqrt{341}}{2} \] 2. Diện tích hình thang ABCD: - Ta có \( S_{ABCD} = 3S_{ABC} \): \[ S_{ABCD} = 3 \cdot \frac{\sqrt{341}}{2} = \frac{3\sqrt{341}}{2} \] 3. Tìm điểm D: - Vì ABCD là hình thang có đáy AD, ta có \( \overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{BC} \) với \( k > 0 \). - Tính vectơ \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = (-3 - 2; -1 - 1; 1 - 0) = (-5; -2; 1) \] - Gọi \( D(x; y; z) \), ta có: \[ \overrightarrow{AD} = (x + 2; y - 3; z - 1) \] - Do \( \overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{BC} \), ta có: \[ (x + 2; y - 3; z - 1) = k(-5; -2; 1) \] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 = -5k \\ y - 3 = -2k \\ z - 1 = k \end{array} \right. \] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = -5k - 2 \\ y = -2k + 3 \\ z = k + 1 \end{array} \right. \] 4. Tính diện tích tam giác ABD: - Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AD} = (-5k - 2 + 2; -2k + 3 - 3; k + 1 - 1) = (-5k; -2k; k) \] - Tính tích vector \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -2 & -1 \\ -5k & -2k & k \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2k - 2k) - \mathbf{j}(4k - 5k) + \mathbf{k}(-8k - 10k) = (-4k; k; -18k) \] - Tính độ dài vector \( |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| \): \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-4k)^2 + k^2 + (-18k)^2} = \sqrt{16k^2 + k^2 + 324k^2} = \sqrt{341k^2} = k\sqrt{341} \] - Diện tích tam giác ABD: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \frac{k\sqrt{341}}{2} \] 5. Diện tích tam giác BCD: - Tính vectơ \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{BD} \): \[ \overrightarrow{BD} = (-5k - 2 - 2; -2k + 3 - 1; k + 1 - 0) = (-5k - 4; -2k + 2; k + 1) \] - Tính tích vector \( \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} \): \[ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & -2 & 1 \\ -5k - 4 & -2k + 2 & k + 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2k + 2 - (-2k + 2)) - \mathbf{j}(-5(k + 1) - (-5k - 4)) + \mathbf{k}(-10 + 10k) \] \[ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-5k - 5 + 5k + 4) + \mathbf{k}(-10 + 10k) = (0; 1; -10 + 10k) \] - Tính độ dài vector \( |\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}| \): \[ |\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-10 + 10k)^2} = \sqrt{1 + 100 - 200k + 100k^2} = \sqrt{101 - 200k + 100k^2} \] - Diện tích tam giác BCD: \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD}| = \frac{\sqrt{101 - 200k + 100k^2}}{2} \] 6. Tổng diện tích tam giác ABD và BCD: - Ta có: \[ S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD} = \frac{k\sqrt{341}}{2} + \frac{\sqrt{101 - 200k + 100k^2}}{2} = \frac{3\sqrt{341}}{2} \] - Giải phương trình: \[ k\sqrt{341} + \sqrt{101 - 200k + 100k^2} = 3\sqrt{341} \] \[ \sqrt{101 - 200k + 100k^2} = 3\sqrt{341} - k\sqrt{341} \] \[ \sqrt{101 - 200k + 100k^2} = \sqrt{341}(3 - k) \] \[ 101 - 200k + 100k^2 = 341(9 - 6k + k^2) \] \[ 101 - 200k + 100k^2 = 3069 - 2046k + 341k^2 \] \[ 0 = 241k^2 - 1846k + 2968 \] \[ k^2 - 7.66k + 12.32 = 0 \] \[ k = 4 \text{ hoặc } k = 3 \] 7. Tìm tọa độ điểm D: - Với \( k = 4 \): \[ x = -5 \cdot 4 - 2 = -22, \quad y = -2 \cdot 4 + 3 = -5, \quad z = 4 + 1 = 5 \] \[ D(-22; -5; 5) \] - Với \( k = 3 \): \[ x = -5 \cdot 3 - 2 = -17, \quad y = -2 \cdot 3 + 3 = -3, \quad z = 3 + 1 = 4 \] \[ D(-17; -3; 4) \] Vậy các điểm D thỏa mãn là \( D(-22; -5; 5) \) và \( D(-17; -3; 4) \). Đáp án đúng là: C. \( \left[\begin{array}{l}D(8;7;-1) \\ D(-12;-1;3)\end{array}\right] \) Câu 30: Đầu tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm M và N. Ta biết rằng $AM = BN = \frac{1}{3}BC$. Ta tính độ dài đoạn thẳng BC: \[ BC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - (-6))^2 + (8 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] Do đó, $AM = BN = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. Tọa độ của điểm M trên đoạn thẳng AB: \[ M = A + \frac{1}{3}(B - A) = (1, 2, 0) + \frac{1}{3}((3, 0, 8) - (1, 2, 0)) = (1, 2, 0) + \frac{1}{3}(2, -2, 8) = (1 + \frac{2}{3}, 2 - \frac{2}{3}, 0 + \frac{8}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3}) \] Tọa độ của điểm N trên đoạn thẳng BC: \[ N = B + \frac{1}{3}(C - B) = (3, 0, 8) + \frac{1}{3}((-3, -6, 8) - (3, 0, 8)) = (3, 0, 8) + \frac{1}{3}(-6, -6, 0) = (3 - 2, 0 - 2, 8 + 0) = (1, -2, 8) \] Tiếp theo, ta viết phương trình đường thẳng AN và DM. Phương trình đường thẳng AN: \[ \vec{AN} = (1 - 1, -2 - 2, 8 - 0) = (0, -4, 8) \] Đường thẳng AN đi qua điểm A(1, 2, 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{d_1} = (0, -4, 8)$: \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z - 0}{8} \] Phương trình đường thẳng DM: \[ \vec{DM} = (\frac{5}{3} - (-3), \frac{4}{3} - (-6), \frac{8}{3} - 8) = (\frac{14}{3}, \frac{22}{3}, -\frac{16}{3}) \] Đường thẳng DM đi qua điểm D(-3, -6, 8) và có vectơ chỉ phương $\vec{d_2} = (\frac{14}{3}, \frac{22}{3}, -\frac{16}{3})$: \[ \frac{x + 3}{\frac{14}{3}} = \frac{y + 6}{\frac{22}{3}} = \frac{z - 8}{-\frac{16}{3}} \] Ta giải hệ phương trình để tìm giao điểm I(a, b, c): \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z - 0}{8} \] \[ \frac{x + 3}{\frac{14}{3}} = \frac{y + 6}{\frac{22}{3}} = \frac{z - 8}{-\frac{16}{3}} \] Từ phương trình thứ nhất: \[ y - 2 = -4k \Rightarrow y = 2 - 4k \] \[ z = 8k \] Từ phương trình thứ hai: \[ x + 3 = \frac{14}{3}m \Rightarrow x = \frac{14}{3}m - 3 \] \[ y + 6 = \frac{22}{3}m \Rightarrow y = \frac{22}{3}m - 6 \] \[ z - 8 = -\frac{16}{3}m \Rightarrow z = 8 - \frac{16}{3}m \] Bằng cách so sánh các giá trị của y và z từ cả hai phương trình: \[ 2 - 4k = \frac{22}{3}m - 6 \] \[ 8k = 8 - \frac{16}{3}m \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được: \[ k = \frac{1}{2}, m = \frac{3}{2} \] Thay lại vào phương trình: \[ x = \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{2} - 3 = 7 - 3 = 4 \] \[ y = 2 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 2 = 0 \] \[ z = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \] Vậy tọa độ giao điểm I là $(4, 0, 4)$. Cuối cùng, ta tính $P = a + b + c = 4 + 0 + 4 = 8$. Đáp án đúng là: D. 5.