giúp tôi vớiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii Câu 1: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng:,$1

Question

giúp tôi vớiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii Câu 1: Cho bốn số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng:,$1<\frac a{a+b+c}+\frac b{b+c+d}+\frac c{c+d+a}+\frac d{d+a+b}<2$

an-nhiendao6 · Accepted Answer

Ta luôn có : $\frac{a}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}<1(1)$
áp dụng tính chất của tỉ số ta có : $\frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}(2)$
Từ (1) và (2) ta có : $\frac{a}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}$
Tương tự ta có : $\frac{b}{a+b+c+d}<\frac{b}{b+c+d}<\frac{a+b}{a+b+c+d}$

$
\frac{c}{a+b+c+d}<\frac{c}{c+d+a}<\frac{c+b}{a+b+c+d} ; \frac{d}{a+b+c+d}<\frac{d}{d+a+b}<\frac{d+c}{a+b+c+d}
$
Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức kép trên ta được :

$
\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<\frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}
$
Vậy $1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<2 \quad$ (đpcm)

Timi · Answer

Câu 1: Để chứng minh rằng $1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2$, ta sẽ chia thành hai phần để chứng minh từng phần riêng lẻ. Phần 1: Chứng minh $\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} > 1$ Ta xét tổng: $$ S = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} $$ Ta thấy rằng mỗi phân số trong tổng này đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1. Do đó, ta có thể so sánh chúng với các phân số khác để dễ dàng chứng minh. Xét: $$ \frac{a}{a+b+c} > \frac{a}{a+b+c+d} $$ $$ \frac{b}{b+c+d} > \frac{b}{a+b+c+d} $$ $$ \frac{c}{c+d+a} > \frac{c}{a+b+c+d} $$ $$ \frac{d}{d+a+b} > \frac{d}{a+b+c+d} $$ Tổng lại ta có: $$ S > \frac{a}{a+b+c+d} + \frac{b}{a+b+c+d} + \frac{c}{a+b+c+d} + \frac{d}{a+b+c+d} = \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d} = 1 $$ Vậy ta đã chứng minh được: $$ \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} > 1 $$ Phần 2: Chứng minh $\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2$ Ta xét tổng: $$ S = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} $$ Ta thấy rằng mỗi phân số trong tổng này đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1. Do đó, ta có thể so sánh chúng với các phân số khác để dễ dàng chứng minh. Xét: $$ \frac{a}{a+b+c} < \frac{a}{a+b} $$ $$ \frac{b}{b+c+d} < \frac{b}{b+c} $$ $$ \frac{c}{c+d+a} < \frac{c}{c+d} $$ $$ \frac{d}{d+a+b} < \frac{d}{d+a} $$ Tổng lại ta có: $$ S < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{d+a} $$ Ta thấy rằng: $$ \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{d+a} < 2 $$ Vì mỗi phân số trong tổng này đều nhỏ hơn 1 và tổng của chúng sẽ nhỏ hơn 2. Vậy ta đã chứng minh được: $$ \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2 $$ Kết luận Từ hai phần trên, ta đã chứng minh được: $$ 1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2 $$