giúp tôi vớiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Câu 1: Để chứng minh rằng $1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2$, ta sẽ chia thành hai phần để chứng minh từng phần riêng lẻ. Phần 1: Chứng minh $\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} > 1$ Ta xét tổng: \[ S = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} \] Ta thấy rằng mỗi phân số trong tổng này đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1. Do đó, ta có thể so sánh chúng với các phân số khác để dễ dàng chứng minh. Xét: \[ \frac{a}{a+b+c} > \frac{a}{a+b+c+d} \] \[ \frac{b}{b+c+d} > \frac{b}{a+b+c+d} \] \[ \frac{c}{c+d+a} > \frac{c}{a+b+c+d} \] \[ \frac{d}{d+a+b} > \frac{d}{a+b+c+d} \] Tổng lại ta có: \[ S > \frac{a}{a+b+c+d} + \frac{b}{a+b+c+d} + \frac{c}{a+b+c+d} + \frac{d}{a+b+c+d} = \frac{a+b+c+d}{a+b+c+d} = 1 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} > 1 \] Phần 2: Chứng minh $\frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2$ Ta xét tổng: \[ S = \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} \] Ta thấy rằng mỗi phân số trong tổng này đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1. Do đó, ta có thể so sánh chúng với các phân số khác để dễ dàng chứng minh. Xét: \[ \frac{a}{a+b+c} < \frac{a}{a+b} \] \[ \frac{b}{b+c+d} < \frac{b}{b+c} \] \[ \frac{c}{c+d+a} < \frac{c}{c+d} \] \[ \frac{d}{d+a+b} < \frac{d}{d+a} \] Tổng lại ta có: \[ S < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{d+a} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+d} + \frac{d}{d+a} < 2 \] Vì mỗi phân số trong tổng này đều nhỏ hơn 1 và tổng của chúng sẽ nhỏ hơn 2. Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2 \] Kết luận Từ hai phần trên, ta đã chứng minh được: \[ 1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} < 2 \]