giúppp vớiiii

Bài 4: a) Diện tích của các hình vuông: - Diện tích của hình vuông đầu tiên là $a_1 = 1$. - Diện tích của hình vuông thứ hai là $a_2 = \frac{1}{2}$. - Diện tích của hình vuông thứ ba là $a_3 = \frac{1}{4}$. - Diện tích của hình vuông thứ n là $a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. Tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên là: \[ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] Đây là tổng của một dãy số geometric với công bội $r = \frac{1}{2}$: \[ S_n = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \] Giới hạn của tổng diện tích khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} S_n = 2 \left(1 - 0\right) = 2 \] b) Chu vi của các hình vuông: - Chu vi của hình vuông đầu tiên là $p_1 = 4$. - Chu vi của hình vuông thứ hai là $p_2 = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. - Chu vi của hình vuông thứ ba là $p_3 = 4 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2$. - Chu vi của hình vuông thứ n là $p_n = 4 \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1} = 4 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$. Tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên là: \[ Q_n = p_1 + p_2 + p_3 + \cdots + p_n = 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \cdots + 4 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1} \] Đây là tổng của một dãy số geometric với công bội $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$: \[ Q_n = 4 \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}\right) \] \[ Q_n = 4 \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}\right) = 4 \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}}\right) = 4 \sqrt{2} \left(\frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n}{\sqrt{2} - 1}\right) \] Giới hạn của tổng chu vi khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} Q_n = 4 \sqrt{2} \left(\frac{1 - 0}{\sqrt{2} - 1}\right) = 4 \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}\right) = 4 \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{1}\right) = 4 (\sqrt{2} + 1) \] Bài 5: a) Diện tích của các hình vuông: - Diện tích của $H_1$ là $S_1 = 5 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}$. - Diện tích của $H_2$ là $S_2 = 5^2 \times \left(\frac{1}{3^2}\right)^2 = \frac{5^2}{3^4}$. - Diện tích của $H_n$ là $S_n = 5^n \times \left(\frac{1}{3^n}\right)^2 = \frac{5^n}{3^{2n}} = \left(\frac{5}{9}\right)^n$. Giới hạn của diện tích khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{9}\right)^n = 0 \] b) Chu vi của các hình vuông: - Chu vi của $H_1$ là $p_1 = 5 \times 4 \times \frac{1}{3} = \frac{20}{3}$. - Chu vi của $H_2$ là $p_2 = 5^2 \times 4 \times \frac{1}{3^2} = \frac{20 \times 5}{3^2}$. - Chu vi của $H_n$ là $p_n = 5^n \times 4 \times \frac{1}{3^n} = \frac{20 \times 5^{n-1}}{3^n}$. Tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên là: \[ p_n = \frac{20}{3} + \frac{20 \times 5}{3^2} + \cdots + \frac{20 \times 5^{n-1}}{3^n} \] Đây là tổng của một dãy số geometric với công bội $r = \frac{5}{3}$: \[ p_n = \frac{20}{3} \left(1 + \frac{5}{3} + \left(\frac{5}{3}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1}\right) \] \[ p_n = \frac{20}{3} \left(\frac{1 - \left(\frac{5}{3}\right)^n}{1 - \frac{5}{3}}\right) = \frac{20}{3} \left(\frac{1 - \left(\frac{5}{3}\right)^n}{-\frac{2}{3}}\right) = -10 \left(1 - \left(\frac{5}{3}\right)^n\right) \] Giới hạn của tổng chu vi khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} p_n = -10 \left(1 - \infty\right) = \infty \]