Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống 3 cạnh lần lượt là D,E,F. Chứng minh véc tơ MD+ véc tơ ME+ véc tơ MF=3/2 véc tơ MO

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác QK // AB; RH // AC; SP // BC.

Dễ thấy các tam giác MKH; MRS; MPQ đều là các tam giác đều.

Ta lại có MD ⊥ HK nên D cũng là trung điểm thuộc cạnh HK của tam giác MHK.

Ta có: $\displaystyle 2\overrightarrow{MD} =\overrightarrow{MH} +\overrightarrow{MK}$
Tương tự: $\displaystyle 2\overrightarrow{ME} =\overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MQ}$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2\overrightarrow{MF} =\overrightarrow{MR} +\overrightarrow{MS}\\
\Rightarrow 2(\overrightarrow{MD} +\overrightarrow{ME} +\overrightarrow{MF}) =(\overrightarrow{MQ} +\overrightarrow{MR}) +(\overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MH}) +(\overrightarrow{MS} +\overrightarrow{MK})
\end{array}$
Tứ giác MRQA là hình bình hành nên $\displaystyle \overrightarrow{MQ} +\overrightarrow{MR} =\overrightarrow{MA}$
Tương tự: $\displaystyle \overrightarrow{MP} +\overrightarrow{MH} =\overrightarrow{MC} ,\ \overrightarrow{MS} +\overrightarrow{MK} =\overrightarrow{MB}$
$\displaystyle \Rightarrow 2(\overrightarrow{MD} +\overrightarrow{ME} +\overrightarrow{MF}) =\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC}$
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC và M là một điểm bất kì nên $\displaystyle \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} =3\overrightarrow{MO}$
$\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{ME} +\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$