Biến đổi biểu thức trong căn thành bình phương của một tổng hay một hiệu rồi từ đó phá bớt một lớp căn $21)~\sqrt{9+4\sqrt5}:$ $22)~\sqrt{16-2\sqrt{55}}$ $23)~\sqrt{14-2\sqrt{33}}$ $24)~\sqrt{14-6\sqrt5}$,$25)~\sqrt{12+2\sqrt{35}}.$ $26)~\sqrt{15-6\sqrt6};$ $27)~\sqrt{16+2\sqrt{55}}.$ $28)~\sqrt{25-4\sqrt6}.$,$29)~\sqrt{14-8\sqrt3}.$ $30)~\sqrt{17-12\sqrt2}.$ $31)~\sqrt{25+4\sqrt6}.$ $32)~\sqrt{21-6\sqrt6}.$,$33)~\sqrt{14+8\sqrt3}.$ $34)~\sqrt{17+12\sqrt2}.$ $35)~\sqrt{13+4\sqrt{10}}.$ $36)~\sqrt{33-20\sqrt2}.$,$37)~\sqrt{21+6\sqrt6}.$ $38)~\sqrt{13-4\sqrt{10}}.$ $39)~\sqrt{46+6\sqrt5}.$ $40)~\sqrt{29-12\sqrt5}.$,$41)~\sqrt{36+12\sqrt5}.$ $42)~\sqrt{35-12\sqrt6}.$ $43)~\sqrt{33+20\sqrt2}$ $44)~\sqrt{36-12\sqrt5}.$,$45)~\sqrt{46-6\sqrt5}$ $46)~\sqrt{29+12\sqrt5}.$ $47)~\sqrt{27+12\sqrt2}:$ $48)~\sqrt{49-20\sqrt6}$,$49)~\sqrt{98-16\sqrt3}.$ $50)~\sqrt{2-\sqrt3}.$ $51)~\sqrt{4+\sqrt{15}}.$ $52)~\sqrt{5-\sqrt{21}}.$,$53)~\sqrt{3-\sqrt5}.$ $54)~\sqrt{2+\sqrt3}.$ $55)~\sqrt{4-\sqrt{15}}.$ $56)~\sqrt{8-\sqrt{55}}$,$57)~\sqrt{7+\sqrt{33}}$ $58)~\sqrt{6+\sqrt{35}}.$ $59)~\sqrt{7-3\sqrt5}.$ $60)~\sqrt{23+3\sqrt5}.$,$61)~\sqrt{7-\sqrt{33}}.$ $62)~\sqrt{8+\sqrt{55}}.$ $63)~\sqrt{8-\sqrt{35}}.$ $64)~\sqrt{6-\sqrt{35}}$

Question

Accepted Answer

Để biến đổi biểu thức trong căn thành bình phương của một tổng hoặc hiệu, ta sẽ áp dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương. Dưới đây là các ví dụ cụ thể:

1. $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}$
   Ta nhận thấy rằng $9 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = (\sqrt{5} + 2)^2$. 
   Do đó, $\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} = \sqrt{5} + 2$.

2. $\sqrt{16 - 2\sqrt{55}}$
   Ta nhận thấy rằng $16 - 2\sqrt{55} = (\sqrt{11})^2 - 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{11} - \sqrt{5})^2$. 
   Do đó, $\sqrt{16 - 2\sqrt{55}} = \sqrt{(\sqrt{11} - \sqrt{5})^2} = \sqrt{11} - \sqrt{5}$.

3. $\sqrt{14 - 2\sqrt{33}}$
   Ta nhận thấy rằng $14 - 2\sqrt{33} = (\sqrt{11})^2 - 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{11} - \sqrt{3})^2$. 
   Do đó, $\sqrt{14 - 2\sqrt{33}} = \sqrt{(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{11} - \sqrt{3}$.

4. $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$
   Ta nhận thấy rằng $14 - 6\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + 3^2 = (\sqrt{5} - 3)^2$. 
   Do đó, $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = 3 - \sqrt{5}$.

5. $\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}$
   Ta nhận thấy rằng $12 + 2\sqrt{35} = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{5})^2$. 
   Do đó, $\sqrt{12 + 2\sqrt{35}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$.

6. $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}}$
   Ta nhận thấy rằng $15 - 6\sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + 3^2 = (\sqrt{6} - 3)^2$. 
   Do đó, $\sqrt{15 - 6\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} - 3)^2} = 3 - \sqrt{6}$.

7. $\sqrt{16 + 2\sqrt{55}}$
   Ta nhận thấy rằng $16 + 2\sqrt{55} = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{5})^2$. 
   Do đó, $\sqrt{16 + 2\sqrt{55}} = \sqrt{(\sqrt{11} + \sqrt{5})^2} = \sqrt{11} + \sqrt{5}$.

8. $\sqrt{25 - 4\sqrt{6}}$
   Ta nhận thấy rằng $25 - 4\sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} + 2^2 = (\sqrt{6} - 2)^2$. 
   Do đó, $\sqrt{25 - 4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} - 2)^2} = 2 - \sqrt{6}$.

9. $\sqrt{14 - 8\sqrt{3}}$
   Ta nhận thấy rằng $14 - 8\sqrt{3} = (\sqrt{12})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{12} + 2^2 = (\sqrt{12} - 2)^2$. 
   Do đó, $\sqrt{14 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{12} - 2)^2} = 2 - \sqrt{12}$.

10. $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$
    Ta nhận thấy rằng $17 - 12\sqrt{2} = (\sqrt{8})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{8} + 3^2 = (\sqrt{8} - 3)^2$. 
    Do đó, $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{8} - 3)^2} = 3 - \sqrt{8}$.

Các ví dụ tiếp theo cũng được giải quyết tương tự bằng cách hoàn chỉnh bình phương.