Tìm toạ độ vecto u biết vecto u (2m-1;-2) và cùng phương với vecto v (-2;m+3)

Câu 30. a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AC là $M(\frac{2 + (-3)}{2}; \frac{1 + 2}{2}) = M(-\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$. Do đó, mệnh đề này là Sai. b) Vector $\overrightarrow{AB}$ từ điểm A đến điểm B là $(-1 - 2; -2 - 1) = (-3; -3)$. Vector $\overrightarrow{AC}$ từ điểm A đến điểm C là $(-3 - 2; 2 - 1) = (-5; 1)$. Do đó, mệnh đề này là Đúng. c) Để kiểm tra ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không, ta tính tỉ số của các thành phần của vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: $\frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}$ và $\frac{-3}{1} = -3$. Vì $\frac{3}{5} \neq -3$, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Do đó, mệnh đề này là Sai. d) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $(\frac{2 + (-1) + (-3)}{3}; \frac{1 + (-2) + 2}{3}) = (\frac{-2}{3}; \frac{1}{3})$. Do đó, mệnh đề này là Sai. Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 31. Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một theo yêu cầu của đề bài. a) Kiểm tra $\overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}$: - Vector $\overrightarrow{a} = (1, 3)$ - Vector $\overrightarrow{b} = (6 - 2, 2) = (4, 2)$ - Tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10$ - Vì $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \neq 0$, nên $\overrightarrow{a}$ không vuông góc với $\overrightarrow{b}$. - Kết luận: Mệnh đề a) sai. b) Kiểm tra khi $x = -3$ thì $\overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{c}$: - Vector $\overrightarrow{a} = (1, 3)$ - Vector $\overrightarrow{c} = (x, 1)$ - Khi $x = -3$, vector $\overrightarrow{c} = (-3, 1)$ - Tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 1 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 = -3 + 3 = 0$ - Vì $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 0$, nên $\overrightarrow{a}$ vuông góc với $\overrightarrow{c}$. - Kết luận: Mệnh đề b) đúng. c) Kiểm tra khi $x = \frac{1}{3}$ thì $\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$: - Vector $\overrightarrow{a} = (1, 3)$ - Vector $\overrightarrow{c} = (x, 1)$ - Khi $x = \frac{1}{3}$, vector $\overrightarrow{c} = \left(\frac{1}{3}, 1\right)$ - Để hai vector cùng phương, tỉ số giữa các thành phần tương ứng phải bằng nhau: \[ \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3 \quad \text{và} \quad \frac{3}{1} = 3 \] - Vì tỉ số giữa các thành phần tương ứng bằng nhau, nên $\overrightarrow{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$. - Kết luận: Mệnh đề c) đúng. d) Kiểm tra khi $\overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{d}$ và $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} = 20$ thì $\overrightarrow{d} = (3, -1)$: - Vector $\overrightarrow{a} = (1, 3)$ - Vector $\overrightarrow{b} = (4, 2)$ - Giả sử $\overrightarrow{d} = (d_1, d_2)$ - Điều kiện $\overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{d}$: \[ 1 \cdot d_1 + 3 \cdot d_2 = 0 \implies d_1 + 3d_2 = 0 \implies d_1 = -3d_2 \] - Điều kiện $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} = 20$: \[ 4 \cdot d_1 + 2 \cdot d_2 = 20 \implies 4(-3d_2) + 2d_2 = 20 \implies -12d_2 + 2d_2 = 20 \implies -10d_2 = 20 \implies d_2 = -2 \] - Thay $d_2 = -2$ vào $d_1 = -3d_2$: \[ d_1 = -3(-2) = 6 \] - Vậy $\overrightarrow{d} = (6, -2)$, không phải $(3, -1)$. - Kết luận: Mệnh đề d) sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 1. Để hai vectơ $\overrightarrow{u}(2m-1; -2)$ và $\overrightarrow{v}(-2; m+5)$ cùng phương, ta cần có: \[ \frac{2m-1}{-2} = \frac{-2}{m+5} \] Bước 1: Tính tỉ số của các thành phần tương ứng của hai vectơ. \[ \frac{2m-1}{-2} = \frac{-2}{m+5} \] Bước 2: Nhân chéo để giải phương trình. \[ (2m-1)(m+5) = (-2)(-2) \] \[ (2m-1)(m+5) = 4 \] Bước 3: Mở ngoặc và sắp xếp phương trình. \[ 2m^2 + 10m - m - 5 = 4 \] \[ 2m^2 + 9m - 5 = 4 \] \[ 2m^2 + 9m - 9 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 2\), \(b = 9\), \(c = -9\). \[ m = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9)}}{2 \cdot 2} \] \[ m = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 72}}{4} \] \[ m = \frac{-9 \pm \sqrt{153}}{4} \] \[ m = \frac{-9 \pm 3\sqrt{17}}{4} \] Bước 5: Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ khi \(m\) có các giá trị đã tìm được. - Khi \(m = \frac{-9 + 3\sqrt{17}}{4}\): \[ 2m - 1 = 2 \left(\frac{-9 + 3\sqrt{17}}{4}\right) - 1 = \frac{-18 + 6\sqrt{17}}{4} - 1 = \frac{-18 + 6\sqrt{17} - 4}{4} = \frac{-22 + 6\sqrt{17}}{4} = \frac{-11 + 3\sqrt{17}}{2} \] \[ \overrightarrow{u} = \left(\frac{-11 + 3\sqrt{17}}{2}; -2\right) \] - Khi \(m = \frac{-9 - 3\sqrt{17}}{4}\): \[ 2m - 1 = 2 \left(\frac{-9 - 3\sqrt{17}}{4}\right) - 1 = \frac{-18 - 6\sqrt{17}}{4} - 1 = \frac{-18 - 6\sqrt{17} - 4}{4} = \frac{-22 - 6\sqrt{17}}{4} = \frac{-11 - 3\sqrt{17}}{2} \] \[ \overrightarrow{u} = \left(\frac{-11 - 3\sqrt{17}}{2}; -2\right) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là: \[ \overrightarrow{u} = \left(\frac{-11 + 3\sqrt{17}}{2}; -2\right) \quad \text{hoặc} \quad \overrightarrow{u} = \left(\frac{-11 - 3\sqrt{17}}{2}; -2\right) \] Câu 2. Để tìm tọa độ điểm \(P\) nằm trên trục hoành sao cho ba điểm \(M\), \(N\), và \(P\) thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \(P\): Vì điểm \(P\) nằm trên trục hoành, tọa độ của nó sẽ có dạng \(P(a, 0)\). 2. Tìm vectơ \( \overrightarrow{MN} \): Tọa độ của \(M\) là \((5, 3)\) và tọa độ của \(N\) là \((-3, 5)\). Vectơ \( \overrightarrow{MN} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{MN} = (-3 - 5, 5 - 3) = (-8, 2) \] 3. Tìm vectơ \( \overrightarrow{MP} \): Tọa độ của \(M\) là \((5, 3)\) và tọa độ của \(P\) là \((a, 0)\). Vectơ \( \overrightarrow{MP} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{MP} = (a - 5, 0 - 3) = (a - 5, -3) \] 4. Điều kiện để ba điểm \(M\), \(N\), và \(P\) thẳng hàng: Ba điểm \(M\), \(N\), và \(P\) thẳng hàng nếu vectơ \( \overrightarrow{MN} \) và vectơ \( \overrightarrow{MP} \) cùng phương. Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{MP} = k \cdot \overrightarrow{MN} \] Ta có: \[ (a - 5, -3) = k \cdot (-8, 2) \] Điều này dẫn đến hai phương trình: \[ a - 5 = -8k \quad \text{(1)} \] \[ -3 = 2k \quad \text{(2)} \] 5. Giải phương trình (2) để tìm \(k\): \[ -3 = 2k \implies k = -\frac{3}{2} \] 6. Thay \(k\) vào phương trình (1) để tìm \(a\): \[ a - 5 = -8 \left(-\frac{3}{2}\right) \implies a - 5 = 12 \implies a = 17 \] Vậy tọa độ của điểm \(P\) là \((17, 0)\). Đáp số: \(P(17, 0)\). Câu 3. Để tìm tọa độ điểm \(M(x, y)\) sao cho \(\overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{BM} + 3\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ \(\overrightarrow{AM}\), \(\overrightarrow{BM}\), và \(\overrightarrow{CM}\): - \(\overrightarrow{AM} = (x - 1, y - 2)\) - \(\overrightarrow{BM} = (x + 2, y - 0) = (x + 2, y)\) - \(\overrightarrow{CM} = (x - 0, y - 5) = (x, y - 5)\) 2. Thay vào phương trình \(\overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{BM} + 3\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}\): \[ (x - 1, y - 2) + 2(x + 2, y) + 3(x, y - 5) = (0, 0) \] 3. Tính tổng các vectơ: \[ (x - 1, y - 2) + (2x + 4, 2y) + (3x, 3y - 15) = (0, 0) \] \[ (x - 1 + 2x + 4 + 3x, y - 2 + 2y + 3y - 15) = (0, 0) \] \[ (6x + 3, 6y - 17) = (0, 0) \] 4. Lập hệ phương trình từ các thành phần của vectơ: \[ \begin{cases} 6x + 3 = 0 \\ 6y - 17 = 0 \end{cases} \] 5. Giải hệ phương trình: - Từ phương trình đầu tiên: \[ 6x + 3 = 0 \implies 6x = -3 \implies x = -\frac{1}{2} \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 6y - 17 = 0 \implies 6y = 17 \implies y = \frac{17}{6} \] 6. Kết luận: Tọa độ điểm \(M\) là \(\left( -\frac{1}{2}, \frac{17}{6} \right)\). Đáp số: \(M \left( -\frac{1}{2}, \frac{17}{6} \right)\). Câu 4. Để tìm giá trị của \( m \) và \( n \), ta sẽ sử dụng phương pháp cộng hai vectơ và so sánh các thành phần tương ứng. Bước 1: Tính \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\). \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (m, 2) + (-3, n) = (m - 3, 2 + n) \] Bước 2: So sánh \(\overrightarrow{c}\) với \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\). Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] Do đó: \[ (-2m, 7) = (m - 3, 2 + n) \] Bước 3: So sánh các thành phần tương ứng. Từ đây, ta có hai phương trình: 1. \(-2m = m - 3\) 2. \(7 = 2 + n\) Bước 4: Giải phương trình thứ nhất để tìm \( m \). \[ -2m = m - 3 \] Cộng thêm \( 2m \) vào cả hai vế: \[ 0 = 3m - 3 \] Cộng thêm 3 vào cả hai vế: \[ 3 = 3m \] Chia cả hai vế cho 3: \[ m = 1 \] Bước 5: Giải phương trình thứ hai để tìm \( n \). \[ 7 = 2 + n \] Trừ 2 từ cả hai vế: \[ n = 5 \] Vậy, giá trị của \( m \) và \( n \) là: \[ m = 1 \quad \text{và} \quad n = 5 \] Đáp số: \( m = 1 \) và \( n = 5 \).