cho hình vuông ABCD. vẽ đường tròn tâm O đường kình AD. kẻ tiếp tuyến BM của O với M là tiếp điểm M khác A). đoạn BM cắt CD tại K a)c/m bốn điểmA,B,C,D cùng thuộc một đường tròn b)c/m OB vuông góc với...

a) Ta có: - \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA\) và \(\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ\). - \(O\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(AD\), do đó \(OA = OD = \frac{AD}{2}\). - Vì \(BM\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) tại \(M\), nên \(OM \perp BM\). Do đó, \(B\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(AOD\). Do \(ABCD\) là hình vuông, \(C\) cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp \(AOD\). Vậy bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: - \(BM\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) tại \(M\), nên \(OM \perp BM\). - \(OK\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp \(AOD\), do đó \(OK \perp BM\). Từ đó ta có \(OB \perp OK\). Tiếp theo, ta chứng minh tích \(BM \cdot MK\) không đổi: - \(BM\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \(O\) tại \(M\), nên \(BM^2 = OM \cdot OA\). - \(MK\) là đoạn thẳng từ \(M\) đến \(K\), do đó \(MK = BK - BM\). Ta có: \[ BM \cdot MK = BM \cdot (BK - BM) = BM \cdot BK - BM^2 \] Vì \(BM\) là tiếp tuyến và \(BK\) là đường kính, nên \(BM \cdot BK = OM \cdot OA\). Do đó: \[ BM \cdot MK = OM \cdot OA - BM^2 = OM \cdot OA - OM \cdot OA = 0 \] Vậy tích \(BM \cdot MK\) không đổi. c) Ta có: - \(OD\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(AOD\), do đó \(OD = \frac{AD}{2}\). - \(OK\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp \(AOD\), do đó \(OK = AD\). Ta cần chứng minh \(OD \cdot OK = OB \cdot MK\): - \(OD = \frac{AD}{2}\) - \(OK = AD\) Do đó: \[ OD \cdot OK = \left( \frac{AD}{2} \right) \cdot AD = \frac{AD^2}{2} \] Ta cũng có: - \(OB\) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp \(AOD\), do đó \(OB = \frac{AD}{2}\). - \(MK\) là đoạn thẳng từ \(M\) đến \(K\), do đó \(MK = BK - BM\). Ta có: \[ OB \cdot MK = \left( \frac{AD}{2} \right) \cdot MK \] Vì \(BM \cdot MK = OM \cdot OA\), nên: \[ OB \cdot MK = \left( \frac{AD}{2} \right) \cdot MK = \frac{AD^2}{2} \] Vậy ta đã chứng minh được \(OD \cdot OK = OB \cdot MK\).